《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2025广东中山一中期中」综合与实践:开展“矩形的旋转”数学探究活动,同学们用矩形纸片操作实践并探索发现,在矩形纸片ABCD中,$AD= 2,AB= \sqrt {3}.$
【数学思考】(1)如图1,圆圆将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD,使得点E落在BC边上,过点A作$AH⊥DE$.求证:$△ADH\cong △DEC.$
【解决问题】(2)在(1)的条件下,如图2,连接AG,求线段AG的长.
【拓展研究】(3)从图2开始,圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周,当直线ED恰好经过线段AG中点O时,连接AE,EG,求$△AEG$的面积.

形中的动态变化 练题型 答案D10

答案：
解析　
(1)证明:
∵将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD,
∴AD=DE,∠C=∠ADC=90°,
∴∠CDE+∠ADH=90°,
∵AH⊥DE,
∴∠AHD=90°,
∴∠HDA+∠DAH=90°,
∴∠DAH=∠CDE,
∴△ADH≌△DEC(AAS).
(2)
∵△ADH≌△DEC,
∴AH=CD=√3，
∵矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD,
∴CD=DG=√3,∠GDE=90°,
∴DH=√(AD² - AH²)=1,
∴DH=1/2AD,
∴∠DAH=30°,
∴∠ADH=60°,
　如图1,过点G作GM⊥AD,交AD的延长线于点M,
　易得∠GDM=30°,
∴GM=1/2DG=√3/2,
∴DM=√(GD² - GM²)=3/2,
∴AM=DM+AD=7/2,
∴AG=√(MG² + AM²)=√13
(3)①如图2,当线段DE与AG交于点O时,作AV⊥DE于V,
　　　　　　　　
∵O是AG的中点,
∴OG=OA,
∵∠GDO=∠AVO=90°,∠DOG=∠AOV,
∴△DOG≌△VOA(AAS),
∴DG=AV=√3,OD=OV,
∴DV=√(AD² - AV²)=1,
∴OV=1/2DV=1/2,VE=DE - DV=2 - 1=1,
∴OE=OV+EV=1/2 + 1=3/2,
∴S△AEG=2S△AEO=2×1/2×OE×AV=2×1/2×3/2×√3=3√3/2
　②如图3,当ED的延长线交AG于点O时,作AV⊥ED交ED的延长线于点V,
　　　　　　　
　由①知OV=OD=1/2,
∴OE=DE+OD=2 + 1/2=5/2,
∴S△AEG=2S△AEO=2×1/2×OE×AV=2×1/2×5/2×√3=5√3/2
　综上所述,△AEG的面积是3√3/2或5√3/2.

2.如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为$(8,0)$,点C的坐标为$(0,4)$,把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为____.

答案：
答案　(16/5,-12/5)
　解析　　如图，过点D作DF⊥OA于点F,设OA与BD交于点E,
　　　　　　　　　　　　 由折叠得∠CBO=∠DBO,
　∠ODB=∠OCB=90°,OD=OC=4,
∵四边形OABC是矩形，
∴BC//OA,
∴∠CBO=∠BOA,
∴∠DBO=∠BOA,
∴BE=OE,
　在△ODE和△BAE中，{∠ODE=∠BAE=90°,∠OED=∠BEA,OE=BE},
∴△ODE≌△BAE(AAS),
∴AE=DE,
　设DE=AE=x,则OE=8 - x,
　在Rt△ODE中,根据勾股定理得4² + x²=(8 - x)²,
　解得x=3,即DE=AE=3,
∴OE=5,
∵S△OED=1/2×OD×DE=1/2×OE×DF,
∴DF=12/5,
∴OF=√(4² - (12/5)²)=16/5,
∴D(16/5,-12/5)

3.如图1,在矩形ABCD中,$AB= 4cm,AD= 2AB$,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE为菱形.
(2)求AF的长.
(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿$△AFB和△CDE$各边匀速运动一周后停止,即点P沿$A→F→B→A$运动,点Q沿$C→D→E→C$运动,在运动过程中,已知点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

答案： 解析　
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,
∴△OAE≌△OCF(AAS),
∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形.
(2)
∵四边形ABCD是矩形,AB=4cm,AD=2AB,
∴∠B=90°,BC=AD=2×4=8(cm),
∵四边形AFCE 是菱形，
∴AF=CF,设AF=CF=xcm,则BF=BC - CF=(8 - x)cm,
∵AF²=BF²+AB²,
∴x²=(8 - x)²+4²,解得x=5,即AF=5cm.
(3)由题意知,只有当点P在BF上,点Q在DE上,且AQ=PC时,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形才是平行四边形,此时AD - AQ=BC - CP,即DQ=BP,由
(2)可得BF=3cm,AF=5cm,
∴DQ=(4t - 4)cm,BP=3 - (5t - 5)=(8 - 5t)cm,
∴4t - 4=8 - 5t,解得t=4/3.
故当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3.