《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2025 贵州遵义期中」一元二次方程 $ x^{2}-3x - 2 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $,则下列结论正确的是(C)
A.$ x_{1}+x_{2}= -3 $
B.$ x_{1}x_{2}= -3 $
C.$ x_{1}+x_{2}= 3 $
D.$ x_{1}x_{2}= 2 $

答案： C
∵方程$x^{2}-3x-2=0$的两根为$x_{1},x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=-2$,故选 C.

2.学科易错题「2025 广东广州实验学校月考」问题“解方程 $ x^{2}-3x + 3 = 0 $”,嘉嘉说：“其中一个解是 $ x = 1 $.”琪琪说：“方程有两个实数根,这两个实数根的和为 3.”珍珍说：“ $ b^{2}-4ac ＜ 0 $,此方程无实数根.”判断下列结论正确的是(C)
A.嘉嘉说得对
B.琪琪说得对
C.珍珍说得对
D.三名同学的说法都不对

答案： C 方程$x^{2}-3x+3=0$中,$a=1,b=-3,c=3$,$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×3=-3＜0,\therefore$此方程无实数根,$\therefore$珍珍说得对.故选 C.

3.学科教材变式学科多解法「2025 河南洛阳涧西期中」若 $ x = 1 $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2mx - 3 = 0 $ 的一个解,则方程的另一个解为(A)
A.$ x= -3 $
B.$ x= 3 $
C.$ x= 2 $
D.$ x= -2 $

答案： A 【解法一】设方程的另一个解为$x_{1}$,则$1×x_{1}=\frac{-3}{1}$,$\therefore x_{1}=-3$.故选 A.
【解法二】$\because x=1$是一元二次方程$x^{2}-2mx-3=0$的一个解,$\therefore 1^{2}-2m×1-3=0,\therefore m=-1$,则原方程为$x^{2}+2x-3=0$,解得$x_{1}=1,x_{2}=-3,\therefore$方程的另一个解为$x=-3$.故选 A.

4.「2024 四川乐山中考」若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + p = 0 $ 的两根为 $ x_{1}、x_{2} $,且 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 3 $,则 $ p $ 的值为(A)
A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ -6 $
D.6

答案： A $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+p=0$的两根为$x_{1}$、$x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}x_{2}=p$,$\because \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3,\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$,即$\frac{-2}{p}=3$,解得$p=-\frac{2}{3}$.故选 A.

5.学科易错题「2024 山东泰安新泰月考」若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx + m^{2}-3m + 3 = 0 $ 的两根互为倒数,则 $ m $ 的值为(B)
A.1
B.2
C.1 或 2
D.0

答案： B $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx+m^{2}-3m+3=0$的两根互为倒数,$\therefore \Delta=m^{2}-4(m^{2}-3m+3)\geq0$,且$m^{2}-3m+3=1$,解得$m=2$.故选 B.
易错警示 解决这类问题要注意,两个根互为倒数或相反数的前提条件是$\Delta\geq0$.

6.若 $ x_{1},x_{2} $ 为一元二次方程 $ x^{2}+3x - 3 = 0 $ 的两个实数根,求下列代数式的值.
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $.
(2) $ (x_{1}-x_{2})^{2} $.
(3) $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) $.
(4) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $.
(5) $ x_{1}^{2}(4 - 2x_{2})+6x_{1} $.

答案： 解析 $\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+3x-3=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=-3,x_{1}^{2}+3x_{1}=3$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=9+6=15$.
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9+12=21$.
(3)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-3-3+1=-5$.
(4)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-3}{-3}=1$.
(5)$x_{1}^{2}(4-2x_{2})+6x_{1}=x_{1}(4x_{1}-2x_{1}x_{2}+6)=x_{1}(4x_{1}+12)=4(x_{1}^{2}+3x_{1})=4×3=12$.

7.「2024 黑龙江绥化中考,」小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1,小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是 -2 和 -5,则原来的方程是(B)
A.$ x^{2}+6x + 5 = 0 $
B.$ x^{2}-7x + 10 = 0 $
C.$ x^{2}-5x + 2 = 0 $
D.$ x^{2}-6x - 10 = 0 $

答案： B 设原来的方程为$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$,由题知$-\frac{b}{a}=6+1=7,\frac{c}{a}=-2×(-5)=10$,所以$b=-7a,c=10a$,所以原来的方程为$ax^{2}-7ax+10a=0$,整理得$x^{2}-7x+10=0$.故选 B.

8.「2023 四川泸州中考,」若一个菱形的两条对角线长是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-10x + m = 0 $ 的两个实数根,且其面积为 11,则该菱形的边长为(C)
A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ \sqrt{14} $
D.$ 2\sqrt{14} $

答案： C 设菱形의两条对角线长分别为$a$、$b,\because$菱形的面积=两条对角线长乘积的一半,$\therefore \frac{1}{2}ab=11,\therefore ab=22$.由题意得$a+b=10,\therefore$菱形의边长$=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$.故选 C.

9.「2024 四川遂宁中考,」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2) 如果方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9 $,求 $ m $ 的值.

答案： 解析
(1)证明:$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$,这里$a=1,b=-(m+2),c=m-1$,$\Delta=b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$.$\because m^{2}\geq0,\therefore \Delta＞0$.$\therefore$无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)根据题意得$x_{1}+x_{2}=m+2,x_{1}x_{2}=m-1$.$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$,$\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$.整理,得$m^{2}+m-2=0$.$\therefore (m+2)(m-1)=0$,解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.$\therefore m$的值为$-2$或$1$.