《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2025 山东枣庄市中期中」在$\triangle ABC$纸片中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$BC = 5$,$AC = 7$,将该纸片沿虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )

答案：
D 如图 1,
∵ CD⊥AB 于点 D,
∴ ∠ADC=90°,
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ADC=∠ACB,
∵ ∠A=∠A,
∴ △ACD∽△ABC,故 A 不符合题意;如图 2,
∵ EF⊥AC,
∴ ∠AFE=90°,
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠AFE=∠ACB,
∴ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC,故 B 不符合题意;如图 3,
∵ BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5,
∴ $\frac{HC}{BC}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$,$\frac{GC}{AC}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{HC}{BC}=\frac{GC}{AC}$,
∵ ∠GCH=∠ACB,
∴ △GHC∽△ABC,故 C 不符合题意;如图 4,
∵ BC=5,AC=7,LC=2,KC=3,
∴ $\frac{LC}{BC}=\frac{2}{5}$,$\frac{KC}{AC}=\frac{3}{7}$,
∴ $\frac{LC}{BC}\neq\frac{KC}{AC}$,
∴ △KLC 与△ABC 不相似,故 D 符合题意.故选 D.

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠B = ∠ACD$,$AB = 6$,$BC = 4$,$AC = 5$,$CD = \frac{15}{2}$,则$AD$的长为$\frac{25}{4}$。

答案： 答案 $\frac{25}{4}$
解析
∵ AB=6,BC=4,AC=5,CD=$\frac{15}{2}$,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$,又
∵ ∠B=∠ACD,
∴ △ABC∽△DCA,
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{CD}=\frac{4}{5}$,
∴ $\frac{5}{AD}=\frac{4}{5}$,
∴ AD=$\frac{25}{4}$.故答案为$\frac{25}{4}$.

3.「2024 上海中考节选」如图所示,在矩形$ABCD$中,$E为边CD$上一点,且$AE⊥BD$。
求证：$AD^{2} = DE\cdot DC$。

答案： 证明
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,
∴ ∠ABD+∠ADB=90°,
∵ AE⊥BD,
∴ ∠DAE+∠ADB=90°,
∴ ∠ABD=∠DAE,
∵ ∠BAD=∠ADE=90°,
∴ △ADE∽△BAD,
∴ $\frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$,
∴ $AD^2=DE·BA$,
∵ AB=DC,
∴ $AD^2=DE·DC$.

4. 我们可以借助两个直角三角形全等的条件,探索两个直角三角形相似的条件。
(1)“对于两个直角三角形,满足一边、一锐角分别相等或两直角边分别相等,这两个直角三角形全等。”类似地,可以得到“满足一个锐角相等或两直角边成比例的两个直角三角形相似。”
(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。”类似地,可以得到“满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。”
(3)如图,在$Rt\triangle ABC和Rt\triangle A'B'C'$中,$∠C = ∠C' = 90^{\circ}$,$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$。求证：$Rt\triangle ABC \backsim Rt\triangle A'B'C'$。

证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则 AB=kA'B',AC=kA'C'.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

答案： 解析
(1)一个锐角相等;两直角边成比例.
(2)斜边和一条直角边成比例.
(3)证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则 AB=kA'B',AC=kA'C'.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

5.「2024 山东德州中考,」如图,$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC = 90^{\circ}$,$BD⊥AC$,垂足为$D$,$AE平分∠BAC$,分别交$BD$,$BC于点F$,$E$。若$AB:BC = 3:4$,则$BF:FD$为(A)

A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$

答案： A
∵ AB:BC=3:4,
∴ 设 AB=3x,BC=4x,
∵ ∠ABC=90°,
∴ AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=5x$,
∵ BD⊥AC,
∴ ∠ADB=∠ABC=90°,
∵ ∠BAD=∠CAB,
∴ △ABD∽△ACB,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{3x}{5x}=\frac{AD}{3x}$,
∴ AD=$\frac{9}{5}x$,
∵ AE 平分∠BAC,
∴ ∠BAF=∠DAF,
∴ ∠AEB=∠AFD,
∵ ∠AFD=∠BFE,
∴ ∠BEF=∠BFE,
∴ BE=BF,
∵ ∠ABE=∠ADF=90°,∠BAE=∠DAF,
∴ △ABE∽△ADF,
∴ $\frac{BE}{DF}=\frac{AB}{AD}$,
∴ $\frac{BF}{DF}=\frac{AB}{AD}=\frac{3x}{\frac{9}{5}x}=\frac{5}{3}$,即 BF:FD=5:3.

6.「2024 四川德阳中考,」如图,在菱形$ABCD$中,$∠ABC = 60^{\circ}$,对角线$AC与BD相交于点O$,点$F为BC$的中点,连接$AF与BD相交于点E$,连接$CE并延长交AB于点G$。
(1)证明：$\triangle BEF \backsim \triangle BCO$。
(2)证明：$\triangle BEG \cong \triangle AEG$。

答案： 证明
(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB=BC,AC⊥BD,又
∵ ∠ABC=60°,
∴ △ABC 是等边三角形,
∴ AB=AC,
∵ 点 F 为 BC 的中点,
∴ AF⊥BC,
∴ ∠BOC=∠BFE=90°,又
∵ ∠EBF=∠CBO,
∴ △BEF∽△BCO.
(2)在等边△ABC 中,
∵ BO⊥AC,AF⊥BC,CG⊥AB,
∴ ∠BGE=∠AGE,BG=AG.在△BEG 和△AEG 中,$\begin{cases}BG=AG,\\∠BGE=∠AGE,\\GE=GE,\end{cases}$
∴ △BEG≌△AEG(SAS).