《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 2\sqrt{3}$,$AC = 4\sqrt{3}$,点$D在AC$上,且$AD = \frac{1}{2}AB$。
(1)用尺规作出点$D$。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接$BD$,并证明：$\triangle ABD \backsim \triangle ACB$。

答案：
解析　
(1)如图，点D即为所求.
　　　　　　　　
(2)证明:
∵AD=$\frac{1}{2}AB$,AB=$2\sqrt{3}$,
∴AD=$\sqrt{3}$,
∵AC=$4\sqrt{3}$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}=2$,
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB.

10. 如图,在$\triangle AOB$中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$OA = 12\mathrm{cm}$,$AB = 6\sqrt{5}\mathrm{cm}$,点$P从O开始沿OA边向点A以2\mathrm{cm/s}$的速度移动；点$Q从点B开始沿BO边向点O以1\mathrm{cm/s}$的速度移动,如果$P$,$Q$同时出发,设时间为$x\mathrm{s}(0 ＜ x ＜ 6)$,那么：
(1)当$x$为何值时,$\triangle OPQ的面积为5\mathrm{cm}^2$？
(2)当$x$为何值时,以$P$、$O$、$Q为顶点的三角形与\triangle AOB$相似？

答案： 解析　
(1)
∵∠AOB=90°,
∴BO²=AB²−AO²,
∴BO=6cm.
　在Rt△OPQ中,OQ=(6 - x)cm,OP=2xcm,
∵△OPQ的面积为5cm²,
∴$\frac{1}{2}OQ\cdot OP = 5$,即$\frac{1}{2}(6 - x)\cdot 2x = 5$,解得x = 1或x = 5.故当x = 1或5时,△OPQ的面积为5cm².
(2)在△AOB和△OPQ中,∠AOB=∠POQ=90°,若$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{OB}$,则△OPQ∽△OAB,故$\frac{2x}{12}=\frac{6 - x}{6}$,解得x = 3.
　若$\frac{OP}{OB}=\frac{OQ}{OA}$,则△OPQ∽△OBA,故$\frac{2x}{6}=\frac{6 - x}{12}$,解得x=$\frac{6}{5}$.
　综上所述,当x = 3或$\frac{6}{5}$时,以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似.

11. 如图,四边形$ABCD$、$CDEF$、$EFGH$都是正方形。
(1)$\triangle ACF与\triangle ACG$相似吗？说说你的理由。
(2)求$\angle 1 + \angle 2$的度数。

答案： 解析　
(1)相似.
　理由:设正方形的边长为a,则AC=$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$,
∵$\frac{AC}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$,$\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$,
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$,
∵∠ACF=∠GCA,
∴△ACF∽△GCA.
(2)
∵△ACF∽△GCA,
∴∠1=∠CAF,
∵∠CAF+∠2=45°,
∴∠1+∠2=45°.

12. 如图,已知$\angle MON = 90^{\circ}$,$A是\angle MON$内部的一点,连接$OA$,过点$A作AB \perp ON$,垂足为$B$,$AB = 3\mathrm{cm}$,$OB = 4\mathrm{cm}$,动点$E$,$F同时从点O$出发,点$E以1.5\mathrm{cm/s}的速度沿ON$方向运动,点$F以2\mathrm{cm/s}的速度沿OM$方向运动,$EF与OA交于点C$。当点$E到达点B$时,两点均停止运动。设运动时间为$t(t ＞ 0)\mathrm{s}$。
(1)当$t = 1$时,$\triangle EOF与\triangle ABO$是否相似？请说明理由。
(2)在运动过程中,无论$t$取何值时,总有$EF \perp OA$,为什么？

答案： 解析　
(1)相似.理由如下:
　当t = 1时,OE = 1.5cm,OF = 2cm.
∵AB = 3cm,OB = 4cm,
∴$\frac{OE}{AB}=\frac{OF}{OB}=\frac{1}{2}$.
　又
∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中,OE = 1.5tcm,OF = 2tcm.
∵AB = 3cm,OB = 4cm,
∴$\frac{OE}{AB}=\frac{OF}{OB}=\frac{t}{2}$.
　又
∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴△EOF∽△ABO.
∴∠EFO=∠AOB.
　又
∵∠AOB+∠FOC=90°,
∴∠EFO+∠FOC=90°.
∴∠FCO=90°,即EF⊥OA.