《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

8.如图,三位同学分别站在一个直角三角形的三个顶点处做投圈游戏,目标物放在斜边AC的中点O处,已知$AC= 6m$,则点B到目标物的距离是3m.

答案： 答案　3
解析
∵∠ABC = 90°，O是斜边AC的中点，
∴BO = $\frac{1}{2}$AC = 3m。

9.「2025河南平顶山期中」小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具,他先将学具活动成如图(1)所示的菱形,并测得$∠ABC= 60^{\circ }$,接着将学具活动成如图(2)所示的正方形,并测得对角线$AC= 20\sqrt {2}$,则图(1)中菱形的对角线BD的长为____20√3.

答案： 答案　20√3
解析　在正方形ABCD中，∠ABC = 90°，
∴AB² + CB² = AC²，
∵AB = CB，AC = 20√2，
∴AB = BC = 20。在题图
(1)中，连接AC交BD于点O(图略)，在菱形ABCD中，AC⊥BD，AB = BC = 20，
∵∠ABC = 60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABO = 30°，
∴OA = $\frac{1}{2}$AB = 10，
∴OB = $\sqrt{AB² - AO²}$ = 10√3，
∴BD = 2OB = 20√3，故答案为20√3。

10.「2023河南省实验中学月考」如图,在边长为$2\sqrt {2}$的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为____.

答案：
答案　1
解析　【解法一】连接CH并延长交AD于P，连接PE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2√2，
∴∠A = 90°，AD//BC，AB = AD = BC = 2√2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE = CF = $\frac{1}{2}$×2√2 = √2，
∵点H是FD的中点，
∴DH = FH，
∵AD//BC，
∴∠DPH = ∠FCH，又
∵∠DHP = ∠FHC，
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD = CF = √2，PH = CH，即H是CD的中点，
∴AP = AD - PD = √2，
∴PE = $\sqrt{AP² + AE²}$ = $\sqrt{(√2)² + (√2)²}$ = 2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH = $\frac{1}{2}$EP = 1。
　　　 　　
【解法二】如图2，连接GF，可得GF = $\frac{1}{2}$BE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，GF//BE。作GM⊥DC于M，可得四边形GFCM为矩形，所以CM = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，GM = √2，延长GH交CD于N，可得△GHF≌△NHD，所以DN = GF = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，GH = HN = $\frac{1}{2}$GN，所以MN = CD - DN - CM = √2，由勾股定理可求出GN = 2，从而得到GH = 1。
【解法三】如图3，连接EH并延长，交CD于点M，连接FG并延长，交EH于点O，交AD于点N。易知△OGH为等腰直角三角形，OH = $\frac{1}{4}$AD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以GH = 1。
　　　 　　
【解法四】如图4，连接FG并延长至点O，使OG = GF，连接BD，易知点O为正方形对角线的交点，GH是△OFD的中位线，所以GH = $\frac{1}{2}$OD = $\frac{1}{4}$BD = 1。
【解法五】如图5，建立如图所示的平面直角坐标系。易知E(0，√2)，C(2√2，0)，F(√2，0)，D(2√2，2√2)，所以G(√2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，H($\frac{3\sqrt{2}}{2}$，√2)，所以GH = $\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2})² + (\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})²}$ = 1。
　　　 　　
【解法六】如图6，根据图形特性，将图形放在格点图中，小正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，观察可得GH = 1。

11.(12分)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,$△ABO$是等边三角形,$AB= 1$.
(1)求证:$□ ABCD$是矩形.
(2)求矩形ABCD的面积.

答案： 解析　
(1)证明：
∵△ABO是等边三角形，
∴OA = OB = AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD，
∴OA = OC = OB = OD，
∴AC = BD，
∴四边形ABCD是矩形。
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC = 90°，AC = 2AO，
∵AB = 1，
∴AO = 1，
∴AC = 2，由勾股定理得BC = $\sqrt{AC² - AB²}$ = $\sqrt{2² - 1²}$ = √3，
∴矩形ABCD的面积 = 1×√3 = √3。

12.「2023湖北十堰中考」(13分)如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,$\frac {1}{2}AC,\frac {1}{2}BD$的长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由.
(2)当$□ ABCD$的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形?

答案： 解析　
(1)四边形BPCO为平行四边形。理由：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC = OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD，
∵分别以点B，C为圆心，$\frac{1}{2}$AC，$\frac{1}{2}$BD的长为半径画弧，两弧交于点P，
∴OB = CP，BP = OC，
∴四边形BPCO为平行四边形。
(2)当AC⊥BD，AC = BD时，四边形BPCO为正方形。
∵AC⊥BD，
∴∠BOC = 90°，
∴□BPCO为矩形。
∵AC = BD，OB = $\frac{1}{2}$BD，OC = $\frac{1}{2}$AC，
∴OB = OC，
∴矩形BPCO为正方形。

13.「2025山东济南章丘月考节选」(15分)如图,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接DE,BE.过点E作$EF⊥DE$,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)若正方形ABCD的边长为9,$CG= 3\sqrt {2}$,求正方形DEFG的边长.

答案：
解析　
(1)证明：如图1，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，易知四边形EMCN是矩形，
　　　　　　
∴∠MEN = 90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM = EN，
∵∠DEF = 90°，
∴∠DEN = ∠MEF = 90° - ∠FEN，在△DEN和△FEM中，{∠DNE = ∠FME = 90°，EN = EM，∠DEN = ∠FEM}，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴EF = DE，
∴矩形DEFG是正方形。
(2)
∵四边形DEFG和四边形ABCD是正方形，
∴DE = DG，AD = DC，
∵∠CDG + ∠CDE = ∠ADE + ∠CDE = 90°，
∴∠CDG = ∠ADE，在△ADE和△CDG中，{AD = CD，∠ADE = ∠CDG，DE = DG}，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE = CG，∠DAE = ∠DCG = 45°，
∵∠ACD = 45°，
∴∠ACG = ∠ACD + ∠DCG = 90°，
∴CE⊥CG，
∴CE + CG = CE + AE = AC = √2AB = 9√2。
∵CG = 3√2，
∴CE = 6√2；如图2，连接EG，
　　　　　　
∴EG = $\sqrt{CE² + CG²}$ = $\sqrt{72 + 18}$ = 3√10，
∴DE = $\frac{EG}{\sqrt{2}}$ = 3√5，
∴正方形DEFG的边长为3√5。