《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

9. 「2025江苏南京五十中月考,」如图,在四边形$ABCD$中,$E$、$F$、$G$、$H分别是线段AD$、$BD$、$BC$、$AC$的中点,要使四边形$EFGH$是菱形,需添加的条件是(C)

A.$AC= BD$
B.$AC\perp BD$
C.$AB= CD$
D.$AB\perp CD$

答案： C

10. 「2023上海奉贤模拟,」用尺规在一个平行四边形内作菱形$ABCD$,下列作法中错误的是(C)

答案： C

11.「2025辽宁沈阳大东月考,」如图,已知点$A$,$D$,$C$,$B$在同一条直线上,且$AD= BC$,$AE= BF$,$CE= DF$。
(1)求证：$AE// BF$。
(2)若$DF= FC$,求证：四边形$DECF$是菱形。

答案：
(1)
∵AD = BC，
∴AD + CD = BC + CD，
∴AC = BD，
∵AE = BF，CE = DF，
∴△AEC≌△BFD(SSS)，
∴∠A = ∠B，
∴AE//BF.
(2)
∵△AEC≌△BFD，
∴∠ECA = ∠FDB，
∴EC//DF，
∵EC = DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DF = FC，
∴四边形DECF是菱形.

12. 「2024江苏扬州中考,」如图1,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形$ABCD$。
(1)试判断四边形$ABCD$的形状,并说明理由。
(2)已知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2所示的位置时,四边形$ABCD的面积为8cm^{2}$,求此时直线$AD$、$CD所夹锐角\angle 1$的度数。

答案：
(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：如图1，作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，
∵两个纸条为矩形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD = AB·CH = AD·CG，且CH = CG，
∴AB = AD，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)如图2，作AM⊥CD，垂足为M，
∵S菱形ABCD = CD·AM = 8 cm²，且AM = 2 cm，
∴CD = 4 cm，
∴AD = CD = 4 cm.在Rt△ADM中，AM = $\frac{1}{2}$AD，
∴∠1 = 30°.

13. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB\perp AC$,$AB= 6$,$BC= 10$,点$P从点B$出发,沿射线$BC$方向运动,同时点$Q从点D$出发,沿$DA$方向运动,当点$Q运动到点A$时,点$Q$停止运动,设运动的时间为$t\mathrm{s}$。
(1)若点$P$每秒运动3个单位,点$Q$每秒运动1个单位,求当$t$为何值时,以$P$、$C$、$D$、$Q$为顶点的四边形为平行四边形。
(2)当点$P每秒运动m$个单位,点$Q每秒运动n$个单位时,若运动中能使以点$P$、$C$、$D$、$Q$为顶点的四边形为菱形,请直接写出$m$、$n$的数量关系。

答案：
(1)①如图，当点P在线段BC上时，DQ = t，PC = 10 - 3t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，则DQ = PC，
∴t = 10 - 3t，
∴t = 2.5.②当点P在BC的延长线上时，PC = 3t - 10.若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，则DQ = PC，
∴t = 3t - 10，
∴t = 5.综上，当t的值为2.5或5时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形.
(2)①当点P在线段BC上时，若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是菱形，则DQ = PC = CD = 6，
∴nt = 10 - mt = 6，
∴mt = 4，
∴$\frac{m}{n}$ = $\frac{2}{3}$，
∴3m = 2n.②如图，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于点E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC = 90°，
∴AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠ACD = ∠BAC = 90°.若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是菱形，则PQ⊥CD，CE = DE = 3，PE = QE，DQ = PC，
∴PQ//AC.
∵AD//BC，
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴PQ = AC = 8，
∴QE = PE = 4，
∴DQ = PD = $\sqrt{QE^{2}+DE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5，
∴nt = mt - 10 = 5，
∴mt = 15，
∴m = 3n.综上，当3m = 2n或m = 3n时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形.