《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

9. [方程思想·2024运城期中]如图是由6个等边三角形和1个直角三角形拼成的六边形$ABCDEF$，若中间最小的等边三角形的边长为1，则$EF$的长是（ ）


A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： $C$
详解: 由等边三角形的性质可知,
$PQ$ $=$ $PM$ $=$ $QM$ $=$ $1,∠QPM$ $=$ $∠EPF$ $=$ 60°, $∴∠DPE$ $=$ 60°,
设$PD$ $=$ $x,$ 则$CQ$ $=$ $QD$ $=$ $PD$ $+$ $PQ$ $=$ $x$ $+$ 1, $∴BQ$ $=$ $CQ$ $=$ $x$ $+$ 1,
$∴MF$ $=$ $AM$ $=$ $BM$ $=$ $BQ$ $+$ $QM$ $=$ $x$ $+$ 1 $+$ 1 $=$ $x$ $+$ 2,
$∴EF$ $=$ $PE$ $=$ $PF$ $=$ $MF$ $+$ $PM$ $=$ $x$ $+$ 2 $+$ 1 $=$ $x$ $+$ 3,
又$∵△PDE$是直角三角形,
$∴∠PDE$ $=$ 90°, $∴∠PED$ $=$ 30°,
$∴PE$ $=$ $2PD$ $=$ $2x,$
即$2x$ $=$ $x$ $+$ 3,解得$x$ $=$ 3,
$∴EF$ $=$ $x$ $+$ 3 $=$ 6,故选$C.$

10. [2024吕梁期末]如图，$△ABC$是等腰三角形，$AB$ $=$ $AC$，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，将$△CDE$沿着$DE$折叠，点$C$的对应点$C'$恰好落在边$AB$上，且$CD$ $=$ $C'B.$
(1)求证$：△AC'E$是等腰三角形；
(2)连接$CC'$交$DE$于点$F$，若$∠A$ $=$ 60°，$AB$ $=$ 8，求$DF$的长度.

答案： 解:
(1) 证明: 根据折叠的性质, 得
CD = C'D, ∠ECB = ∠EC'D.
∵CD = C'B,
∴CD = C'D = C'B,
∴∠B = ∠C'DB,
∵AB = AC,
∴∠B = ∠ECB,
∴∠B = ∠C'DB = ∠ECB = ∠EC'D,
∴C'E//BC,
∴∠AC'E = ∠B = ∠ACB = ∠AEC',
∴AC' = AE,
∴△AC'E是等腰三角形.
(2)
∵AB = AC,∠A = 60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB = 8,
∴AB = BC = 8,由
(1)易得∠AC'E = ∠B = ∠ACB = ∠AEC' = 60°,
∴△BDC'是等边三角形,
∴DC' = BC' = BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 4,
∠C'DB = 60°,
∴∠DCF = ∠DC'C = $\frac{1}{2}$∠C'DB = 30°,
根据折叠的性质, 得∠DFC = 90°,
∴DF = $\frac{1}{2}$CD = 2.

11. [推理能力·2024晋中榆次区期中]综合与实践
问题情境：
如图1，$△ABC$为等边三角形.在直角三角尺$DEF$中，$∠DEF$ $=$ 90°，$∠EDF$ $=$ 60°，将三角尺的顶点$D$放在$△ABC$的边$BC$上，并将三角尺绕点$D$旋转，使得三角尺的两边$DF$，$DE$分别与边$AB$，$AC$交于点$M$，$N.$

探究发现：
(1)勤学小组的同学发现在三角尺绕点$D$旋转的过程中，$∠BDM$与$∠DNC$始终相等，请你证明这一结论.
(2)如图2，连接$MN$，在三角尺绕点$D$旋转的过程中，当$BM$ $=$ $CD$时，试判断$△DMN$的形状，并说明理由.
深入探究：
(3)如图3，善思小组的同学在图2的基础上，在射线$BC$上作了一个$△CD'M'$，且$△BDM≌△CD'M'$，连接$DM'.$如果$AB$ $=$ 8，$BD$ $=$ 5，请直接写出线段$DM'$的长.

答案：
解:
(1) 证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B = ∠C = 60°,
∴在△CDN中, ∠DNC = 180° - ∠C - ∠NDC = 120° - ∠NDC,
又
∵∠BDM + ∠NDC + ∠EDF = 180°,
∴∠BDM = 180° - ∠EDF - ∠NDC = 120° - ∠NDC,
∴∠BDM = ∠DNC.
(2) △DMN是等边三角形.
理由如下:
由
(1)得∠BDM = ∠DNC,∠B = ∠C,
又
∵BM = CD,
∴△BDM≌△CND,
∴DM = DN.
又
∵∠EDF = 60°,
∴△DMN是等边三角形.
(3) $3\sqrt{3}$.
详解: 由
(2)知BM = CD,
在等边三角形ABC中,∠B = ∠ACB = 60°,AB = BC = AC,
∵△BDM≌△CD'M',
∴BD = CD', BM = CM',
∠B = ∠M'CD' = 60°,
∵AB = 8, BD = 5,
∴DC = BC - BD = 8 - 5 = 3,
∵∠ACB = 60° = ∠M'CD',
∴∠ACM' = 60°,即CA平分∠DCM',
∵BM = CD = CM',
∴△DCM'是等腰三角形,
如图,设AC,DM'的交点为P,

∴∠DPC = 90°,
∵∠ACB = 60°,
∴∠PDC = 30°,
∴PC = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{3}{2}$, 由勾股定理可得
PD = $\sqrt{DC^{2}-PC^{2}}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴DM' = 2PD = $3\sqrt{3}$.