《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1. 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，现将△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在△ABC内部，过E作EF⊥AC于点F，若∠CAD = 15°，EF = √2，则线段AC的长为（ ）
A. √2 B. 2√2 C. 2 D. 4
　　

答案： 1. C
详解:
∵△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，
∴AE=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∵∠CAD=15°,
∴∠CAE=60°−15°=45°,
∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°,
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF=√2,由勾股定理得AE= $\sqrt{EF^{2}+AF^{2}} = 2$，
∴AC=2.故选C.

2. 如图，在△ABC中，AB = 6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6 B. 6√3 C. 9√3 D. 9
　　

答案：
2. D
详解：由旋转得A₁B = AB = 6，∠A₁BA = 30°，S_{△ABC} = S_{△A₁BC₁}，
如图，过A₁作A₁D⊥AB于D，则A₁D = $\frac{1}{2}$A₁B = 3，

∴S_{△A₁BA} = $\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$，
∴S_{阴影} = S_{△A₁BA} + S_{△A₁BC₁} - S_{△ABC} = S_{△A₁BA} = 9.
故选D.

$3. $在$△ABC$中，$∠ABC = 60°，$将$△ABC$在平面内绕点$B$顺时针旋转$α(0° ＜ α ＜ 90°)$得到$△DBE，$其中点$A$的对应点为点$D，$连接$CE.$
$　(1)$若$α = 30°，$如图$①，$求$∠BEC$的度数；
$　(2)$当点$D$在边$BC$上，且$AB//CE$时，如图$②，$若$DC = 2，$$AC = √19，$求$AB$的长$.$
$　　　　　　　$$ 　　$

答案：
3. 解:
(1)由旋转得∠EBC = 30°，BC = BE，
∴∠BEC = $\frac{1}{2}\times(180° - 30°) = 75°$.
(2)如图，过点D作DF⊥CE于点F，

由旋转得AC = DE = $\sqrt{19}$，BC = BE，∠ABC = ∠DBE，AB = BD，
∴∠BEC = ∠BCE，
∵CE//AB，
∴∠BCE = ∠ABC，
∴∠DBE = ∠BEC = ∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC = BE = EC，∠DCE = 60°，
∴∠CDF = 30°，
∴CF = $\frac{1}{2}$CD = 1，DF = $\sqrt{2^{2}-1^{2}} = \sqrt{3}$，
在Rt△DEF中，EF = $\sqrt{DE^{2}-DF^{2}} = \sqrt{19 - 3} = 4$，
∴CE = EF + CF = 5 = BC，
∴BD = BC - CD = 5 - 2 = 3，
∴AB的长为3.

4. 如图，已知在△ABC中，AB = AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E.
　(1)当∠BAC = 120°，∠DAE = 60°时，求证：DE = D'E.
　(2)当DE = D'E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由.
　　　　　　　　　　

答案： 4. 解:
(1)证明:
∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴AD = AD′，∠CAD′ = ∠BAD，
∵∠BAC = 120°，∠DAE = 60°，
∴∠D′AE = ∠CAD′ + ∠CAE = ∠BAD + ∠CAE = ∠BAC - ∠DAE = 120° - 60° = 60°，
∴∠DAE = ∠D′AE，
在△ADE和△AD′E中，
$\begin{cases}AD = AD′,\\∠DAE = ∠D′AE,\\AE = AE,\end{cases}$
∴△ADE≌△AD′E(SAS)，
∴DE = D′E.
(2)∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC.
理由如下：在△ADE和△AD′E中，
$\begin{cases}AD = AD′,\\AE = AE,\\DE = D′E,\end{cases}$
∴△ADE≌△AD′E(SSS)，
∴∠DAE = ∠D′AE，
∴∠BAD + ∠CAE = ∠CAD′ + ∠CAE = ∠D′AE = ∠DAE，
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC.