《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

5. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC = 150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得到△ADC，连接OD，OA.
　(1)求∠ODC的度数；
　(2)若OB = 4，OC = 5，求AO的长.
　　　　　　　　　　　　

答案： 5. 解:
(1)由旋转的性质得CD = CO，∠ACD = ∠BCO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = ∠ACO + ∠OCB = 60°.
∴∠DCO = ∠ACO + ∠ACD = ∠ACO + ∠OCB = 60°.
∴△OCD为等边三角形.
∴∠ODC = 60°.
(2)由旋转的性质得AD = OB = 4，∠ADC = ∠BOC = 150°，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD = OC = 5，∠ODC = 60°.
∴∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 90°.
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AO = $\sqrt{AD^{2}+OD^{2}} = \sqrt{4^{2}+5^{2}} = \sqrt{41}$.

6. 如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，∠DAE = 60°，BD = 5，CE = 8，求DE的长.
　　　　　　　　　　

答案：
6. 解:
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，连接E′D，如图，

∴BE′ = EC = 8，AE′ = AE，∠E′AB = ∠EAC，
∵∠BAC = 120°，∠DAE = 60°，
∴∠BAD + ∠EAC = 60°，
∴∠E′AD = ∠E′AB + ∠BAD = 60°，
在△E′AD和△EAD中，
$\begin{cases}AE′ = AE,\\∠E′AD = ∠EAD,\\AD = AD,\end{cases}$
∴△E′AD≌△EAD(SAS)，
∴E′D = ED，
过E′作E′F⊥BD于点F，
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠ABC = ∠C = ∠E′BA = 30°，
∴∠E′BF = 60°，
∴∠BE′F = 30°，
∴BF = $\frac{1}{2}$BE′ = 4，
∴E′F = $\sqrt{E′B^{2}-BF^{2}} = 4\sqrt{3}$，
∵BD = 5，
∴FD = BD - BF = 1，
在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D = $\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+1^{2}} = 7$，
∴DE = 7.

7. 如图，在△ABC中，CA = CB，∠ACB = 120°，E为AB上一点，∠DCE = 60°，∠DAE = 120°，求证：DE - AD = BE.
　　　　　　　　　　

答案：
7. 证明：延长EB至点F，使BF = AD，连接CF.

∵CA = CB，∠ACB = 120°，
∴∠ABC = ∠CAE = (180° - 120°)÷2 = 30°，
∴∠CBF = 180° - ∠ABC = 150°.
∵∠DAE = 120°，
∴∠CAD = 150°.
在△CBF和△CAD中，
$\begin{cases}BC = AC,\\∠CBF = ∠CAD,\\BF = AD,\end{cases}$
∴△CBF≌△CAD(SAS)，
∴CF = CD，∠BCF = ∠ACD.
∵∠DCE = 60°，
∴∠FCE = ∠ECB + ∠BCF = ∠ECB + ∠ACD = ∠ACB - ∠DCE = 120° - 60° = 60° = ∠DCE.
在△CDE和△CFE中，
$\begin{cases}CD = CF,\\∠ECD = ∠ECF,\\CE = CE,\end{cases}$
∴△CDE≌△CFE(SAS)，
∴FE = DE，
∴DE - AD = EF - BF = BE.