《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

7. 化简：$(\frac{1}{a - 3} - \frac{1}{a^2 - 9}) \div \frac{a^2 + 2a}{a - 3}$，若方程$x - 2 = 6(x + 3)$的解为$x = a$，求上式的值.

答案： 解：原式$=[\frac{1}{a - 3}-\frac{1}{(a - 3)(a + 3)}]\times\frac{a - 3}{a(a + 2)}=\frac{a + 2}{(a - 3)(a + 3)}\times\frac{a - 3}{a(a + 2)}$
$=\frac{1}{a(a + 3)}$，
题中方程可化为$6x + 18 = x - 2$，解得$x = -4$，$\therefore a = -4$，
$\therefore$原式$=\frac{1}{-4\times(-4 + 3)}=\frac{1}{4}$。

8. 已知$x^2 - 2x + 2y^2 + 12y + 19 = 0$，化简并求值：
$\frac{x^2 - xy}{x + 2y} \div \frac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} - x + y$.

答案： 解：原式$=\frac{x^2 + 2xy}{x + y}-\frac{x^2 - y^2}{x + y}$
$=\frac{2xy + y^2}{x + y}$，
$\because x^2 - 2x + 2y^2 + 12y + 19 = 0$，
$\therefore x^2 - 2x + 1 + 2(y^2 + 6y + 9) = 0$，
$\therefore (x - 1)^2 + 2(y + 3)^2 = 0$
$\therefore x = 1$，$y = -3$，
则原式$=\frac{2\times1\times(-3)+(-3)^2}{1 - 3}=-\frac{3}{2}$

9. 先化简，再求值：
$(\frac{3 - 2x}{x^2 - 1} - \frac{x - 3}{x + 1}) \cdot \frac{x - 1}{x^2 - 4} + \frac{2}{x + 2}$，其中$x$是不等式组$\begin{cases}2x + 2 \leq 9 \\ 3x - 1 ＞ 0\end{cases}$的整数解.

答案： 解：原式$=[\frac{3 - 2x}{(x + 1)(x - 1)}-\frac{(x - 3)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}]\cdot\frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2}{x + 2}$
$=\frac{-x(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2}{x + 2}$
$=\frac{-x}{(x + 1)(x + 2)}+\frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)}$
$=\frac{x + 2}{(x + 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 1}$。
解不等式组$\begin{cases}2x + 2\leqslant 9\\3x - 1\gt 0\end{cases}$，
得$\frac{1}{3}\lt x\leqslant\frac{7}{2}$，
所以不等式组的整数解是$1$，$2$，$3$，
要使原式有意义，
则$x\neq\pm 1$且$x\neq\pm 2$，
所以$x = 3$，
当$x = 3$时，原式$=\frac{1}{3 + 1}=\frac{1}{4}$。

10. 已知$ab = 1$，$b = 2a - 1$，求$\frac{1}{a} - \frac{2}{b}$的值.

答案： 解：原式$=\frac{b - 2a}{ab}$，
$\because ab = 1$，$b = 2a - 1$，
$\therefore$原式$=\frac{-1}{1}=-1$。

11. 已知$\frac{a - b}{ab} = -2$，求$\frac{2a + ab - 2b}{a - ab - b}$的值.

答案： 解：$\because\frac{a - b}{ab}=-2$，$\therefore a - b = -2ab$，
则原式$=\frac{2(a - b)+ab}{a - b - ab}$
$=\frac{-4ab + ab}{-2ab - ab}=1$。

12. 先化简，再求值：$\frac{a - 3}{3a^2 - 6a} \div (a + 2 - \frac{5}{a - 2})$，其中$a^2 + 3a - 1 = 0$.

答案： 解：原式$=\frac{a - 3}{3a(a - 2)}\div(\frac{a^2 - 4}{a - 2}-\frac{5}{a - 2})$
$=\frac{a - 3}{3a(a - 2)}\div\frac{(a - 3)(a + 3)}{a - 2}$
$=\frac{a - 3}{3a(a - 2)}\times\frac{(a - 2)}{(a - 3)(a + 3)}$
$=\frac{1}{3a(a + 3)}=\frac{1}{3(a^2 + 3a)}$，
$\because a^2 + 3a - 1 = 0$，$\therefore a^2 + 3a = 1$，
$\therefore$原式$=\frac{1}{3\times1}=\frac{1}{3}$。