《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠BCD = ∠B，AB = 26，AC = 10. 则AD的长为________.

答案： 6

11. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角.

答案： 证明：假设∠DAB是钝角或直角.
∵AB = AC，AD是底边BC上的高，
∴∠BAC = 2∠DAB.
∵∠DAB是钝角或直角，
∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理，
∴假设不成立，
∴∠DAB是一个锐角.

12. 如图，点$D$，$E$在$△ABC$的边$BC$上，$AD$ $=$ $AE$，$BD$ $=$ $CE.$
(1)求证$：AB$ $=$ $AC$；
(2)若$∠BAC$ $=$ 108°，$2∠DAE$ $+$ $∠BAC$ $=$ 180°，请写出图中除$△ABC$与$△ADE$外的所有等腰三角形.

答案：
解：
(1)证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图.

∵AD = AE，
∴DF = EF.
∵BD = CE，
∴BF = CF.
∴AB = AC.
(2)
∵∠BAC = 108°，
2∠DAE + ∠BAC = 180°，
∴2∠DAE = 72°，
∴∠DAE = 36°.
∵AD = AE，
∴∠ADE = ∠AED = $\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=72^{\circ}$.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C = $\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$，
易知∠BAD = ∠EAC = 72° - 36° = 36°，
∴∠BEA = ∠DAC = 36° + 36° = 72°，
∴∠B = ∠BAD，∠C = ∠EAC，
∠BAE = ∠BEA，∠ADC = ∠DAC
∴除△ABC与△ADE外的所有等腰三角形为△ABD，△AEC，△ABE，△ADC.

13. [推理能力·2024运城期末]阅读与思考
阅读下列材料，并解决相应的问题.
定义：如图1，线段BE把等腰三角形ABC分成△ABE与△BCE，如果△ABE与△BCE均为等腰三角形，那么线段BE叫做△ABC的完美分割线.
　
(1) 如图1，在△ABC中，AB = AC，∠ABC = 72°，线段BE为△ABC的完美分割线，则∠A = ________°，∠BEC = ________°；
(2) 如图2，在△ABC中，AB = AC，线段AD为△ABC的完美分割线，BD ＜ CD，求∠B的度数；
(3) 如图3，在等腰三角形ABC中，AB = AC，线段AD是它的一条完美分割线，BD ＜ CD，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点B₁处，AB₁交CD于点E，请直接写出图中所有以AD为边的等腰三角形.

答案： 解：
(1)36；72.
(2)
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C.
∵线段AD为△ABC的完美分割线，BD ＜ CD，
∴△ABD和△ACD均为等腰三角形，
∴AD = BD，CD = AC，
∴∠BAD = ∠B，∠ADC = ∠CAD，
∴∠CAD = ∠ADC = 2∠B.
∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠BAD + ∠CAD + ∠B + ∠C = 180°，
∴5∠B = 180°，
∴∠B = 36°.
(3)△ABD，△ACD，△ADB₁，△ADE.
详解：由
(2)可得∠B = ∠C = 36°，△ABD，△ACD是等腰三角形，
∴AD = BD，
∴∠DAB = ∠B = 36°，
∴∠ADE = ∠DAB + ∠B = 72°.
由折叠的性质可得△ADB₁为等腰三角形，∠DAE = ∠BAD = 36°，
∴∠AED = 180° - ∠DAE - ∠ADE = 72° = ∠ADE，
∴△ADE为等腰三角形，
∴以AD为边的等腰三角形为△ABD，△ACD，△ADB₁，△ADE.