《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

11.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，B，C，D三点恰好在同一直线上.
(1)判断△ACE的形状；
(2)连接CE，若CE⊥BD，求∠BAC的度数.
　　　　　　　　

答案： 解:
(1)
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,
∴AC=AE,
∴△ACE是等腰三角形.
(2)
∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,
∴∠BAD=∠CAE=140°,AB=AD,AC=AE,
∴∠ABC=∠ADB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAD)=$\frac{1}{2}$×(180°−140°)=20°,
　同理可得∠ACE=∠AEC=20°,
∵CE⊥BD,
∴∠ECB=90°,
∴∠ACB=∠ECB−∠ACE=90°−20°=70°,
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−20°−70°=90°,即∠BAC的度数为90°.

$12.[$几何直观$]$如图，在$△ABC$中，$∠BAC = 120°，$以$BC$为边向$△ABC$外作等边三角形$BCD，$把$△ABD$绕着点$D$按顺时针方向旋转$60°$后得到$△ECD.$
$(1)A、$$C、$$E$三点在同一直线上吗$？$请证明你的猜想$.$
$(2)$求$∠BAD$的度数$.$
$(3)$若$AB = 3，$$AC = 2，$求$AD$的长$.$
$　　　　　　　　　　　　$$ $

答案： 解$:(1)A、$$C、$$E$三点在同一直线上$.$证明$:$
∵$△BCD$为等边三角形，
∴$∠BDC=60°.$
$　$
∵$∠BAC=120°,$
$　$
∴$∠BDC+∠BAC=180°.$
$　$
∴$∠ABD+∠ACD=180°.$
$　$由旋转的性质可知$∠ABD=∠ECD,$
∴$∠ACD+∠ECD=180°.$
$　$
∴$A、$$C、$$E$三点在同一直线上$.$
$　(2)$由旋转的性质可知$∠ADE=60°,∠BAD=∠CED,DA=DE,$
$　$
∴$△ADE$为等边三角形$.$
$　$
∴$∠DEC = 60°.$
∴$∠BAD = 60°.$
$　(3)$由旋转的性质可知$CE=AB=3.$
$　$
∴$AE=AC + CE=2 + 3 = 5.$
$　$
∵$△ADE$为等边三角形$,$
$　$
∴$AD=AE=5.$