《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

10. 已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac = 0$，则$\triangle ABC$是 （ ）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 等边三角形
D. 无法确定

答案： C

11. 若$M = 3x^{2}-8xy + 9y^{2}-4x + 6y + 13$，则$M$的值一定是 （ ）
A. 正数
B. 负数
C. 0
D. 非负数

答案： A

12. [2023泰安东平县二模]如图，长与宽分别为$a$、$b$的长方形，它的周长为14，面积为10，则$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为__________.
　　　　　　

答案： 490

13. [2023泰州三模]若$\sqrt{a + b - 3}+a^{2}b^{2}+1 = 2ab$，则代数式$a^{2}b + ab^{2}$的值为__________.

答案： 3

14. 把下列各式因式分解：
(1)[2024威海改编]$(x + 2)(x + 4)+1$；
(2)[2023晋城阳城县期末]$m^{2}+9n^{2}+6mn - 25$；
(3)$(x^{2}+4)^{2}-16x^{2}$.

答案： 解:
(1)原式=x²+6x+9=(x+3)².
(2)原式=(m+3n)²−5²
　=(m+3n+5)(m+3n−5).
(3)原式=(x² + 4x + 4)(x² - 4x + 4)
　=(x + 2)²(x - 2)².

15. [2024福建节选]已知实数$a$，$b$，$c$，$m$，$n$满足$3m + n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$. 求证：$b^{2}-12ac$为非负数.

答案： 证明: 因为3m + n=$\frac{b}{a}$,mn=$\frac{c}{a}$,
　所以b = a(3m + n),c = amn,
　则b² - 12ac=[a(3m + n)]² - 12a²mn
　=a²(9m² + 6mn + n²) - 12a²mn
　=a²(9m² - 6mn + n²)
　=a²(3m - n)².
　因为a,m,n是实数, 所以a²(3m - n)²≥0,
　所以b² - 12ac为非负数.

16. [2023烟台龙口市期末](1)分解因式：
$x^{2}+4x + 4=$__________；
$16x^{2}+24x + 9=$__________；
$9x^{2}-12x + 4=$__________.
(2)观察以上三个多项式中各项的系数，我们发现：
$4^{2}=4\times1\times4$，$24^{2}=4\times16\times9$，$(-12)^{2}=4\times9\times4$.
①猜想结论：若多项式$ax^{2}+bx + c(a＞0)$是完全平方式，则系数$a$，$b$，$c$一定存在某种关系，请你用式子表示$a$，$b$，$c$之间的关系；
②验证结论：请你写出一个完全平方式(不同于题中所出现的完全平方式)，并验证①中的结论；
③解决问题：若多项式$(m + 8)x^{2}-(2m + 4)x + m$是一个关于$x$的完全平方式，求$m$的值.

答案： 解:
(1)(x+2)²;(4x+3)²;(3x−2)².
(2)①b²=4ac.
　②4x² + 4x + 1,
　则a = 4,b = 4,c = 1,
∴b² = 4² = 16,4ac = 4×4×1 = 16,
∴b² = 4ac. (答案不唯一)
　③根据①中结论可知[-(2m + 4)]² = 4×(m + 8)m, 解得m = 1.