《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

9. 若$\frac{3 - 2x}{x - 1}=\square+\frac{1}{x - 1}$，则$\square$是（ ）
A. -1
B. -2
C. -3
D. 任意实数

答案： B

10. 在$m$天的假期中，小明读了$n$页书，小红的阅读量是小明的3倍，则小红平均每天比小明多读________页书.

答案： $\frac{2n}{m}$

11. [2024上海松江区期末]我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式.如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式.(我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”).如：$\frac{2x + 2}{x}=\frac{2x}{x}+\frac{2}{x}=2+\frac{2}{x}$；又如：$\frac{x^{2}+2x + 3}{x + 1}=\frac{(x + 1)^{2}+2}{x + 1}=\frac{(x + 1)^{2}}{x + 1}+\frac{2}{x + 1}=x + 1+\frac{2}{x + 1}$.若$\frac{x^{3}+ax^{2}+2x + b}{x^{2}+x + 1}$可以写成一个整式与“真分式”$\frac{x}{x^{2}+x + 1}$的和的形式，则$a + b =$________.

答案： 1
详解：$\frac{x^{3}+ax^{2}+2x + b}{x^{2}+x + 1}-\frac{x}{x^{2}+x + 1}=\frac{x^{3}+ax^{2}+x + b}{x^{2}+x + 1}=\frac{x(x^{2}+ax + 1)+b}{x^{2}+x + 1}$，
$\because\frac{x(x^{2}+ax + 1)+b}{x^{2}+x + 1}$是整式，
$\therefore a = 1$，$b = 0$，
$\therefore a + b=1 + 0 = 1$.

12. 先化简，再求值：$\frac{8a^{2}}{4a^{2}-12a + 9}+\frac{18}{12a - 4a^{2}-9}$，其中$a$是不等式组$\begin{cases}a + 3\geqslant0\\a + 1\lt0\end{cases}$的整数解.

答案： 解：$\frac{8a^{2}}{4a^{2}-12a + 9}+\frac{18}{12a - 4a^{2}-9}=\frac{8a^{2}}{4a^{2}-12a + 9}-\frac{18}{4a^{2}-12a + 9}=\frac{8a^{2}-18}{4a^{2}-12a + 9}=\frac{2(4a^{2}-9)}{(2a - 3)^{2}}=\frac{2(2a + 3)(2a - 3)}{(2a - 3)^{2}}=\frac{2(2a + 3)}{2a - 3}$，
解不等式组$\begin{cases}a + 3\geq0\\a + 1\lt0\end{cases}$得$-3\leq a\lt -1$，
因为$a$是整数解，所以$a=-3$或$-2$.
当$a=-3$时，原式=$\frac{2}{3}$.
当$a=-2$时，原式=$\frac{2}{7}$.

13. [新定义]阅读：如果两个分式$A$与$B$的和为常数$k$，且$k$为正整数，则称$A$与$B$互为“关联分式”，常数$k$称为“关联值”. 如分式$A=\frac{x}{x - 1}$，$B=\frac{-1}{x - 1}$，$A + B=\frac{x - 1}{x - 1}=1$，则$A$与$B$互为“关联分式”，“关联值”$k = 1$.
(1)若分式$A=\frac{x - 4}{x - 3}$，$B=\frac{x - 2}{x - 3}$，判断$A$与$B$是不是互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”$k$.
(2)已知分式$C=\frac{x - 1}{x - 2}$，$D=\frac{M}{x - 2}$，$C$与$D$互为“关联分式”，且“关联值”$k = 2$，则$M =$__________(用含$x$的式子表示).
(3)若分式$E=\frac{(x - a)(x - b)}{x - 4}$，$F=\frac{(x - c)(x - 5)}{4 - x}$，$a,b$为整数且$c = a + b$，$E$与$F$互为“关联分式”，且“关联值”$k = 5$，求$c$的值.

答案： 解：
(1)由题意得$A + B=\frac{x - 4}{x - 3}+\frac{x - 2}{x - 3}=\frac{x - 4 + x - 2}{x - 3}=\frac{2x - 6}{x - 3}=\frac{2(x - 3)}{x - 3}=2$，
$\therefore A$与$B$互为“关联分式”，“关联值”$k = 2$.
(2)$x - 3$.
详解：由题意得$C + D=\frac{x - 1}{x - 2}+\frac{M}{x - 2}=\frac{x - 1 + M}{x - 2}$.
$\because C$与$D$互为“关联分式”，且“关联值”$k = 2$，
$\therefore x - 1 + M=2(x - 2)=2x - 4$，
$\therefore M=2x - 4 - x + 1=x - 3$.
(3)由题意得$E + F=\frac{(x - a)(x - b)}{x - 4}+\frac{(x - c)(x - 5)}{4 - x}=5$，
$\frac{x^{2}-bx - ax + ab}{x - 4}-\frac{x^{2}-5x - cx + 5c}{x - 4}=5$，
$\frac{5x + cx - bx - ax + ab - 5c}{x - 4}=5$，
$(5 + c - a - b)x + ab - 5c=5x - 20$，
$\because c=a + b$，
$\therefore 5x + ab - 5(a + b)=5x - 20$，
$\therefore ab - 5(a + b)=-20$，
$ab - 5a=5b - 20$，
$a(b - 5)=5b - 20$，
$a=\frac{5b - 25 + 5}{b - 5}=\frac{5(b - 5)+5}{b - 5}=5+\frac{5}{b - 5}$，
$\because a$，$b$为整数，
$\therefore 5$一定是$b - 5$的倍数，
$\therefore b - 5=-1$或$-5$或$1$或$5$，
解得$b = 4$或$0$或$6$或$10$，
当$b = 4$时，$a = 0$，
当$b = 0$时，$a = 4$，
当$b = 6$时，$a = 10$，
当$b = 10$时，$a = 6$，
$\therefore c=a + b=4$或$16$，
$\therefore c$的值为$4$或$16$.