《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

10. 解分式方程：$\frac{4x}{x - 2}+\frac{2}{x(x - 2)}=4$.

答案： 解: 去分母，得$4x^{2}+2 = 4x(x - 2)$，
去括号，得$4x^{2}+2 = 4x^{2}-8x$，
解得$x=-\frac{1}{4}$，
检验: 当$x=-\frac{1}{4}$时，$x(x - 2)\neq0$，
所以$x=-\frac{1}{4}$是原分式方程的解.

11. [2023吕梁交城县期末]已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 1}-2=\frac{k}{x - 1}$的解为正数，则字母$k$的取值范围为（ ）
A. $-2 ＜ k ＜ 0$
B. $k ＞ - 2$且$k\neq - 1$
C. $k ＞ - 2$
D. $k ＜ 2$且$k\neq 1$

答案： D
详解: 去分母，得$x - 2(x - 1)=k$，
去括号，得$x - 2x + 2 = k$，
解得$x = 2 - k$，
由分式方程的解为正数，得$2 - k＞0$，且$2 - k\neq1$，
解得$k＜2$且$k\neq1$.

12. 若关于$x$的方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$无解，则$m$的值为__________.

答案： 0或4
详解: $\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$，
$2(2x + 1)=mx$，$4x + 2 = mx$，
$(4 - m)x=-2$，
方程无解，可分为以下两种情况:
①分式方程没有意义时，$x = 0$或$x=-\frac{1}{2}$，
当$x=-\frac{1}{2}$时，$m = 0$. 当$x = 0$时，无解.
②整式方程无解时，$4 - m = 0$，$\therefore m = 4$.
综上，$m$的值为0或4.

13. [新定义]对于实数$x$，规定：$f(x)=\frac{x}{x + 1}$.如：$f(2)=\frac{2}{2 + 1}=\frac{2}{3}$，$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}$.
(1)求值：$f(3)+f(\frac{1}{3})=$________；$f(5)+f(\frac{1}{5})=$________.
(2)猜想：$f(x)+f(\frac{1}{x})=$________，并证明你的结论.
(3)解方程：$f(x - 1)+f(x + 1)=2$.

答案： 解:
(1) 1; 1.
(2) 1. 证明: $\because f(x)=\frac{x}{x + 1}$，
$\therefore f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x + 1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}=\frac{x + 1}{x + 1}=1$.
(3) $\because f(x - 1)+f(x + 1)=2$，
$\therefore \frac{x - 1}{x - 1 + 1}+\frac{x + 1}{x + 1 + 1}=2$，
$\therefore \frac{x - 1}{x}+\frac{x + 1}{x + 2}=2$，
$\therefore (x - 1)(x + 2)+x(x + 1)=2x(x + 2)$，
$\therefore x^{2}-x + 2x - 2+x^{2}+x = 2x^{2}+4x$，
$\therefore x=-1$，
检验，当$x=-1$时，$x(x + 2)\neq0$，
$\therefore$原方程的解为$x=-1$.

14. [运算能力]阅读理解，并解决问题.
小明同学在一次数学活动中发现，存在一组都不为0的数$a$，$b$，$c$，$d$，使得等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立.并对$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$证明如下：$\because\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$.$\therefore\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$.
问题解决：
(1)写出一组使得等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立的$a$，$b$，$c$，$d$的值；
(2)若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，求$\frac{a + b}{b}$的值；
(3)解分式方程：$\frac{3x - 2}{3x + 1}=\frac{2x + 1}{2x - 2}$.

答案： 解:
(1) 答案不唯一，比如$a = 3$，$b = 2$，$c = 6$，$d = 4$.
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1$，
$\therefore \frac{a + b}{b}=\frac{8}{5}$.
(3) $\because \frac{3x - 2}{3x + 1}=\frac{2x + 1}{2x - 2}$，
$\therefore \frac{3x - 2}{3x + 1}-1=\frac{2x + 1}{2x - 2}-1$，
$\therefore \frac{3x - 2}{3x + 1}-\frac{3x + 1}{3x + 1}=\frac{2x + 1}{2x - 2}-\frac{2x - 2}{2x - 2}$，
$\therefore \frac{-3}{3x + 1}=\frac{3}{2x - 2}$，
$\therefore 3x + 1+2x - 2 = 0$，解得$x=\frac{1}{5}$，
经检验，$x=\frac{1}{5}$是原分式方程的解.