《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

8. [2024大同期末]为庆祝中华人民共和国成立75周年，某店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如下表所示：

(1)第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，全部售完后获利2800元，求A种纪念币的售价.
(2)在(1)的条件下，第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不少于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润为多少？

答案： 解：
(1)设A种纪念币的售价是a元/枚，
由题意得$80(a - 40)+40×(90 - 60)=2800$，解得$a = 60$。
答：A种纪念币的售价是60元/枚。
(2)设第二次计划购进A种纪念币x枚，则购进B种纪念币(150 - x)枚，利润为w元，
由题意得$w=(60 - 40)x+(90 - 60)·(150 - x)= - 10x + 4500$，
∵$-10＜0$，
∴w随x的增大而减小。
∵$x≥2(150 - x)$，
∴$x≥100$，
∴当$x = 100$时，利润最大，最大利润为$-10×100 + 4500 = 3500$(元)。
此时$150 - x = 50$。
答：第二次购进A种纪念币100枚，购进B种纪念币50枚时，利润最大，最大利润为3500元。

9. [应用意识·2024临汾期末]日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长方体形状的包装盒.制作这类包装盒时，我们通常先在纸上裁剪出包装盒的侧面、底面，然后折叠、粘贴成长方体.在一次数学活动中，数学研习小组协助老师用白卡纸制作长方体纸盒.
操作发现：
制作1个长方体纸盒需要1个侧面和2个底面；1张白卡纸可以做2个侧面或3个底面.
问题解决：
(1)他们准备用42张白卡纸制作长方体纸盒，计划将这些白卡纸分成两部分，一部分用于做侧面，另一部分用于做底面.如何分配才能使做成的侧面和底面正好配套？(用二元一次方程组的知识解答)
(2)用20张白卡纸最多能制作多少个长方体纸盒？

答案： 解：
(1)设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 42\\2x=\frac{1}{2}×3y\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 18\\y = 24\end{cases}$。
答：用18张白卡纸做侧面，用24张白卡纸做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套。
(2)设用20张白卡纸能制作m个长方体纸盒。
根据题意，得$\frac{m}{2}+\frac{2m}{3}≤20$。
解得$m≤\frac{120}{7}$。
∵m为正整数，
∴m的最大值为17。
答：用20张白卡纸最多能制作17个长方体纸盒。