《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

11. [2024晋中期中]如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，点D，E分别是边AC，BC上的点，连接DE，DB，若DE//AB且DE平分∠CDB，则△CDB的周长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
　　

答案： B

12. [2024朔州期末]如图，直线l上方有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则正方形b的边长为__________.
　　

答案： $2\sqrt{5}$

13. [2024吕梁期末]在校园内有一块四边形的草坪如图所示，我们把它记作四边形ABCD，数学兴趣小组的同学想知道它的面积，身边只有一把卷尺，同学们量得AB = 12米，AD = 9米，DC = 8米，BC = 17米.当同学们不知道该如何求面积时，组长提议量量BD的长度，他们量得BD = 15米，问题得到了解决.请你思考他们是如何解决问题的，并按照他们的思路接着完成任务.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：连接$BD$，如图.

$\because AB^{2}+AD^{2}=12^{2}+9^{2}=225 = 15^{2}=BD^{2}$，$\therefore\triangle ABD$是直角三角形，
$\therefore S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD=\frac{1}{2}\times12\times9 = 54$(平方米)，
又$\because BD^{2}+CD^{2}=15^{2}+8^{2}=289 = 17^{2}=BC^{2}$，
$\therefore\triangle BCD$是直角三角形，
$\therefore S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CD=\frac{1}{2}\times15\times8 = 60$(平方米)，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=54 + 60 = 114$(平方米).

14. [推理能力·2024吕梁期末]勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明.
定理表述
(1)请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理.(用文字或符号语言)
尝试证明
(2)以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，a + b为高的直角梯形(如图②)，请你利用图②，验证勾股定理.
拓展延伸
(3)利用图②中的直角梯形，我们可以证明$\frac{a + b}{c}$ ＜ $\sqrt{2}$，请将以下证明步骤补充完整.
易知BC = a + b，AD = ________，
在直角梯形ABCD中，BC________AD(填“＜”“＞”或“ = ”)，即____________，又c ＞ 0，∴$\frac{a + b}{c}$ ＜ $\sqrt{2}$.
　　　　　　
　　　　　　

答案： 解：
(1)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(或如果直角三角形的直角边长为$a,b$，斜边长为$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$).
(2)证明：在$\triangle ABE$和$\triangle ECD$中，
$\begin{cases}AB = EC,\\BE = CD,\\AE = ED,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle ECD(SSS)$，
$\therefore\angle AEB=\angle EDC$.
又$\because\angle EDC+\angle DEC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AEB+\angle DEC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AED = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle AED$是直角三角形.
$\because S_{梯形ABCD}=S_{Rt\triangle ABE}+S_{Rt\triangle DEC}+S_{Rt\triangle AED}$，
$\therefore\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，
即$\frac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(3)$\sqrt{2}c$；$＜$；$a + b＜\sqrt{2}c$.