《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

11. [2024晋中期中改编]已知$M$是等边三角形$ABC$的边$BC$上的点.
(1) 如图1，$M$，$N$分别为$BC$，$AB$上一点，且$BM$ $=$ $BN$，连接$MN$，求证$：MN//AC.$
(2)如图2，在图1的基础上连接$AM$，过点$M$作$∠AMH$ $=$ 60°，$MH$与$△ABC$的外角$∠ACD$的平分线交于点$H.$
①若$∠CAM$ $=$ 45°，则$∠HMC$ $=$ __________°；
②求证$：△ANM≌△MCH.$

答案： 解:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵BM = BN,
∴∠BMN = ∠BNM = 60°,
∴∠BMN = ∠C = 60°,
∴MN//AC.
(2)①15.
②证明:
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = BC.
∵BM = BN,
∴AN = MC.
∵CH是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACH = 60°,
∴∠MCH = ∠ACB + ∠ACH = 120°.
由
(1)知∠BNM = 60°,
∴∠ANM = 120°,
∴∠ANM = ∠MCH.
易知∠NMC = 120°,又∠AMH = 60°
∴∠HMC + ∠AMN = 60°.
又
∵∠MAN + ∠AMN = ∠BNM = 60°,
∴∠HMC = ∠MAN.
在△ANM和△MCH中， $\begin{cases}\angle ANM=\angle MCH, \\\angle MAN=\angle HMC, \\AN=MC,\end{cases}$

∴△ANM≌△MCH(ASA).

12. [推理能力·2024太原期中]阅读材料：等边三角形具有丰富的性质，在解题时我们要善于运用等边三角形的特殊性来达到证明全等的目的从而解决问题.
解决问题：
(1)如图1，$B$，$C$，$D$三点在同一条直线上，等边三角形$ABC$和等边三角形$CDE$具有共同的顶点$C$，我们容易证明$△BCE≌△ACD$，从而得到$BE$ =__________；
(2)如图2，已知点$D$在等边三角形$ABC$内，$AD$ $=$ 10，$BD$ $=$ 8，$CD$ $=$ 6，以$CD$为边在其下方作等边三角形$CDE$，求$∠BDC$的度数.

答案： 解:
(1) AD.
(2)
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ BC = AC， CE = CD = DE = 6,
∠BCA = ∠ECD = 60°,
∴∠BCA - ∠BCD = ∠ECD - ∠BCD,
∴∠ACD = ∠BCE,
在△BCE和△ACD中，
​$\begin{cases} \angle MAN = \angle ACD, \\ BC = AC, \\ CE = CD, \end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE = AD = 10,
∵BD² + DE² = 8² + 6² = 100,
BE² = 100,
∴BD² + DE² = BE²,
∴△BDE是直角三角形，∠BDE = 90°,
∴∠BDC = ∠BDE + ∠CDE = 90° + 60° = 150°.