《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

9.[2024临汾月考]已知$a,b$均为正实数，且$b - a＞1$.若$P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，$Q=\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{b - 1}$，则$P$，$Q$的大小关系为（ ）
A.$P＜Q$
B.$P = Q$
C.$P＞Q$
D.无法确定

答案： C

10.[2024晋城阳城县月考]若$a^{2} + 5ab - b^{2} = 0$（$a$，$b$均不为0），则$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}$的值为__________.

答案： 5

11.[2023阳泉期末]已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，则式子$\frac{xy - x + y}{2x - 2y + 3xy}$的值是__________.

答案： $-\frac{4}{3}$

12.计算：
(1)$\frac{x}{x + 1}-\frac{3x}{2(x + 1)}-1$；
(2)$\frac{a + 1}{a - 1}+1+\frac{2a}{a^{2} - 1}$.

答案： 解：
(1)原式=$\frac{2x}{2(x + 1)}-\frac{3x}{2(x + 1)}-\frac{2x + 2}{2(x + 1)}=\frac{2x - 3x - 2x - 2}{2(x + 1)}=\frac{-3x - 2}{2(x + 1)}$。
(2)原式=$\frac{a + 1}{a - 1}+\frac{a - 1}{a - 1}+\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2a}{a - 1}+\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2a(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)}+\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2a(a + 2)}{(a - 1)(a + 1)}$。

13.先化简，再求值：$\frac{a^{2} + a - 1}{a + 1}-\frac{a^{2} - 3a + 1}{a - 3}$，其中$a = 2$.

答案： 解：原式=$\frac{(a^{2}+a - 1)(a - 3)}{(a + 1)(a - 3)}-\frac{(a^{2}-3a + 1)(a + 1)}{(a - 3)(a + 1)}=\frac{a^{3}-2a^{2}-4a + 3}{(a + 1)(a - 3)}-\frac{a^{3}-2a^{2}-2a + 1}{(a - 3)(a + 1)}=\frac{a^{3}-2a^{2}-4a + 3 - a^{3}+2a^{2}+2a - 1}{(a + 1)(a - 3)}=\frac{-2a + 2}{(a + 1)(a - 3)}$，
$\because a = 2$，$\therefore$原式$=\frac{2}{3}$。

14.小李和小王某天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的价格为$m$元/升，他俩加油的情况如图所示.半个月后，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的价格下调为$n$元/升，他俩加油的情况与上次相同.请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低.

答案： 解：根据题意，得小李两次加油的平均单价为$\frac{300 + 300}{\frac{300}{m}+\frac{300}{n}}=\frac{2mn}{m + n}$(元)，
小王两次加油的平均单价为$\frac{30m + 30n}{30 + 30}=\frac{m + n}{2}$(元)，
$\frac{m + n}{2}-\frac{2mn}{m + n}=\frac{(m + n)^{2}}{2(m + n)}-\frac{4mn}{2(m + n)}=\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}$，
$\because m\neq n$，
$\therefore\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}＞0$，即$\frac{m + n}{2}＞\frac{2mn}{m + n}$，
故小李两次加油的平均单价更低。

15.[运算能力]观察下列各式：
$\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$.
(1)填空：$\frac{1}{a(a + 1)}=$__________；
(2)计算：$\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{5\times6}+\cdots+\frac{1}{2023\times2024}$.

答案： 解：
(1)$\frac{1}{a}-\frac{1}{a + 1}$。
(2)原式=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2024}=\frac{2021}{6072}$。