《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

5. [2023大同平城区期中]下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

答案： 5.D

6. [2024陕西]一个正比例函数的图象经过点A(2, m)和点B(n, -6)。若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（ ）
A. y = 3x
B. y = -3x
C. y = $\frac{1}{3}$x
D. y = -$\frac{1}{3}$x

答案： 6.A

7. 如图，BO是等腰三角形ABC底边上的中线，AC = 2，AB = 4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是__________。

答案： 7.2\sqrt{6}

$8. $实践探究题
$【$问题情境$】$在学习$“$图形的平移与旋转$”$时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图$1，$在$△ABC$中，$∠BAC = 90°，$$AB = AC，$点$D$为斜边$BC$上的一点，将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到线段$AE，$连接$CE.$
$(1)【$猜想证明$】$试猜想$BD$与$CE$的数量关系，并加以证明$.$
$(2)【$探究应用$】$如图$2，$点$D$为等腰直角三角形$ABC$内一点，将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到线段$AE，$连接$CE. $若$B，$$D，$$E$三点共线，求证：$∠BEC = 2∠AEB.$
$(3)【$拓展提升$】$如图$3，$若等腰直角三角形$ABC$的直角边长为$2√2，$点$D$是线段$BC$上的动点，将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到线段$AE，$连接$DE，$$CE. $点$D$在运动过程中，当$△DEC$的周长最小时，$CE$的长为$______.$
$　　　　　　　　　　　　　　　　$$ 　　$$ 　　$$ $

答案：
8.解:
(1)BD=CE.
证明:由旋转得AD=AE,∠DAE = 90°,
∵∠BAC = 90°,
∴∠BAC = ∠DAE,
即∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC,
∴∠BAD = ∠CAE.
在△BAD与△CAE中,
$\begin{cases}AB = AC,\\\angle BAD = \angle CAE,\\AD = AE,\end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD = CE.
(2)证明:由旋转得AD = AE,∠DAE = 90°,
∴∠ADE = ∠AEB = 45°,
∴∠ADB = 180° - ∠ADE = 135°.
同
(1)得△BAD≌△CAE,
∴∠AEC = ∠ADB = 135°,
∴∠BEC = ∠AEC - ∠AEB = 90°,
∴∠BEC = 2∠AEB.
(3)2.
详解:由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴CE = BD,
∴△DEC的周长 = DE + CE + DC = DE + BD + CD = DE + BC,
∵△ADE为等腰直角三角形,
∴AD = AE,由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{2AD^{2}}=\sqrt{2}AD$,
同理得$BC=\sqrt{2}AB = 4$,
∴AD的长最小时,△DEC的周长最小,此时AD⊥BC,
∴CE = BD = $\frac{1}{2}BC = 2$.