《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1.[2023淄博]已知$x = 1$是方程$\frac{m}{2 - x}-\frac{1}{x - 2}=3$的解，那么实数$m$的值为（ ）
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4

答案： B

2.[2024齐齐哈尔]如果关于$x$的分式方程$\frac{1}{x}-\frac{m}{x + 1}=0$的解是负数，那么实数$m$的取值范围是（ ）
A. $m ＜ 1$且$m\neq0$
B. $m ＜ 1$
C. $m ＞ 1$
D. $m ＜ 1$且$m\neq - 1$

答案： 详解：方程两边同时乘$x(x + 1)$，得$x + 1 - mx = 0$，解得$x = \frac{1}{m - 1}$。
∵分式方程的解是负数，
∴$m - 1 ＜ 0$，且$\frac{1}{m - 1} \neq - 1$，
∴$m ＜ 1$且$m \neq 0$。

3.[2024牡丹江]若分式方程$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$的解为正整数，则整数$m$的值为__________.

答案： 详解：原方程可化为$\frac{x}{x - 1} = 3 + \frac{mx}{x - 1}$，方程两边都乘$x - 1$，得$x = 3(x - 1) + mx$，去括号、移项、合并同类项，得$(2 + m)x = 3$，解得$x = \frac{3}{2 + m}$。因为方程的解是正整数，所以$2 + m = 1$或$2 + m = 3$，解得$m = - 1$或$m = 1$(舍去，会使分式无意义)。所以$m = - 1$。

4.是否存在整数$k$，使分式方程$\frac{k}{x^{2}+2x - 3}+\frac{x - 1}{x + 3}=\frac{x}{x - 1}$的解为小于2的非负数？如果存在，请求出所有的$k$值；如果不存在，请说明理由.

答案： 解：存在，原方程可化为$\frac{k}{(x + 3)(x - 1)} + \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{x}{x - 1}$，方程两边同时乘$(x + 3)(x - 1)$，得$k + (x - 1)^2 = x(x + 3)$，解得$x = \frac{k + 1}{5}$。
∵方程的解是小于2的非负数，
∴$0 \leq \frac{k + 1}{5} ＜ 2$，解得$- 1 \leq k ＜ 9$。
∵$k$为整数，
∴$k = - 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8$。当$k = 4$时，$x = \frac{k + 1}{5} = 1$，此时分式方程无意义，
∴$k = - 1,0,1,2,3,5,6,7,8$。

5.[2024重庆B]若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3}\leq3,\\4x - 2 ＜ 3x + a\end{cases}$的解集为$x\leq4$，且关于$y$的分式方程$\frac{a - 8}{y + 2}-\frac{y}{y + 2}=1$的解均为负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和是__________.

答案： 详解：$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} \leq 3①\\4x - 2 ＜ 3x + a②\end{cases}$，解不等式①，得$x \leq 4$，解不等式②，得$x ＜ a + 2$，
∵不等式组的解集为$x \leq 4$，
∴$a + 2 ＞ 4$，
∴$a ＞ 2$。解分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$得$y = \frac{a - 10}{2}$。
∵关于$y$的分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$的解均为负整数，
∴$\frac{a - 10}{2} ＜ 0$且$\frac{a - 10}{2}$是整数，
∴$a ＜ 10$且$a$是偶数，又$y + 2 = \frac{a - 10}{2} + 2 \neq 0$，
∴$a \neq 6$，
∴$2 ＜ a ＜ 10$，$a$是偶数，$a \neq 6$，
∴满足题意的$a$的值为4或8，
∴所有满足条件的整数$a$的值之和$4 + 8 = 12$。

6.[2024重庆A]若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3}＜x + 1,\\2(x + 1)\geq - x + a\end{cases}$至少有2个整数解，且关于$y$的分式方程$\frac{a - 1}{y - 1}=2-\frac{3}{1 - y}$的解为非负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为__________.

答案： 详解：$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3} ＜ x + 1①\\2(x + 1) \geq - x + a②\end{cases}$，解不等式①，得$x ＜ 4$，解不等式②，得$x \geq \frac{a - 2}{3}$，
∵关于$x$的一元一次不等式组至少有两个整数解，
∴$\frac{a - 2}{3} \leq 2$，解得$a \leq 8$。解方程$\frac{a - 1}{y - 1} = 2 - \frac{3}{1 - y}$，得$y = \frac{a - 2}{2}$。
∵关于$y$的分式方程的解为非负整数，
∴$\frac{a - 2}{2} \geq 0$且$a - 2$是偶数，解得$a \geq 2$且$a$是偶数，又$\frac{a - 2}{2} \neq 1$，
∴$a \neq 4$，
∴$2 \leq a \leq 8$，$a$是偶数，$a \neq 4$，
∴满足题意的$a$的值为2，6，8，
∴所有满足条件的整数$a$的值之和$2 + 6 + 8 = 16$。

7.[2024临汾蒲县期末改编]若关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{x + m}{2 - x}=2$有增根，则$m$的值为__________.

答案： 详解：原方程可化为$\frac{1}{x - 2} - \frac{x + m}{x - 2} = 2$，方程两边都乘$x - 2$，得$1 - x - m = 2x - 4$，解得$x = \frac{5 - m}{3}$。
∵关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2} + \frac{x + m}{2 - x} = 2$有增根，
∴$x = 2$，
∴$\frac{5 - m}{3} = 2$，解得$m = - 1$。

8.[2024达州]若关于$x$的方程$\frac{3}{x - 2}-\frac{kx - 1}{x - 2}=1$无解，则$k$的值为__________.

答案： 详解：方程两边都乘$x - 2$，得$3 - kx + 1 = x - 2$，解得$x = \frac{6}{k + 1}$。
∵关于$x$的方程$\frac{3}{x - 2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$无解，
∴$k + 1 = 0$或$\frac{6}{k + 1} = 2$，解得$k = - 1$或$k = 2$(经检验，$k = 2$是方程$\frac{6}{k + 1} = 2$的解)，
∴$k = - 1$或$k = 2$时，$\frac{3}{x - 2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$无解。

9.已知关于$x$的分式方程$\frac{mx}{(x - 3)(x - 6)}+\frac{2}{x - 3}=\frac{3}{x - 6}$无解，且一次函数$y=(m-\frac{1}{2})x+m-\frac{3}{2}$的图象不经过第二象限，求符合条件的所有$m$的值之和.

答案： 解：分式方程两边同时乘$(x - 3)(x - 6)$，得$mx + 2(x - 6) = 3(x - 3)$，整理，得$(m - 1)x = 3$。
∵此分式方程无解，
∴$m - 1 = 0$或$x = 3$或$x = 6$，
∴$m = 1$或$m = 2$或$m = \frac{3}{2}$。
∵一次函数$y = (m - \frac{1}{2})x + m - \frac{3}{2}$的图象不经过第二象限，
∴$m - \frac{1}{2} ＞ 0$，且$m - \frac{3}{2} \leq 0$，
∴$\frac{1}{2} ＜ m \leq \frac{3}{2}$，
∴$m = 1$或$m = \frac{3}{2}$，
∴符合条件的所有$m$的值之和是$1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$。