《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

11. $△ABC$中，$AB$ $=$ $AC$，$∠B$ $=$ 30°，点$P$在$BC$边上运动$（P$不与$B$、$C$重合），连接$AP$，作$∠APQ$ $=$ $∠B$，$PQ$交$AB$于点$Q.$
　　
(1) 如图1，当$PQ//CA$时，判断$△APB$的形状，并说明理由.
(2) 在点$P$的运动过程中，$△APQ$的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出$∠BQP$的度数；若不可以，请说明理由.

答案： 解：
(1) △APB是直角三角形，理由如下：
∵AB = AC，∠B = 30°，
∴∠C = ∠B = 30°，
∴∠BAC = 180° - 30° - 30° = 120°，
∵PQ//CA，∠APQ = ∠B = 30°，
∴∠PAC = ∠APQ = 30°，
∴∠BAP = 120° - 30° = 90°，
∴△APB是直角三角形.
(2) △APQ的形状可以是等腰三角形，
①当QA = QP时，∠QAP = ∠QPA = 30°，
∴∠BQP = ∠QAP + ∠QPA = 60°.
②当PA = PQ时，∠PQA = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°，
∴∠BQP = 180° - 75° = 105°.
③当AQ = AP时，∠AQP = ∠APQ = 30°，
∴∠QAP = 120° = ∠BAC，即点P与点C重合，不符合题意.
综上，∠BQP的度数为60°或105°.

12. 问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含30°角的直角三角板间存在的关系.
如图，$△ABC≌△DEC$，$∠ACB$ $=$ $∠DCE$ $=$ 90°，$∠B$ $=$ $∠E$ $=$ 30°，$AC$ $=$ $DC$ $=$ 4.
操作探究：
(1) 如图1，当$D$，$C$，$B$在同一条直线上时，判断直线$AB$与直线$DE$的位置关系并证明；
(2) 如图2，将图1中的三角板$DEC$绕点$C$顺时针旋转120°，边$DE$与边$CB$交于点$G$，判断此时$△CDG$的形状并证明；
(3) 如图3，将图1中的三角板$DEC$绕点$C$顺时针旋转，边$AB$与边$EC$交于点$M$，当$△CBM$是以$BM$为腰的等腰三角形时，直接写出$AM$的长.

答案：
解：
(1) 直线AB与直线DE的位置关系是垂直，证明如下：
如图，延长BA交DE于点H，
∵∠ACB = 90°，∠B = ∠E = 30°，
∴∠EAH = ∠BAC = 60°，
∴∠E + ∠EAH = 90°，
∴∠EHA = 90°，
∴BH⊥DE，
∴直线AB与直线DE的位置关系是垂直.

(2) △CDG是等边三角形，证明如下：由旋转的性质得∠ACE = 120°，
∵∠ACB = ∠DCE = 90°，∠D = 60°，
∴∠BCE = 120° - ∠ACB = 30°，
∴∠DCG = 90° - ∠BCE = 60° = ∠D，
∴△CDG是等边三角形.
(3) 8 - 4$\sqrt{3}$或4.
详解：
∵△CBM是以BM为腰的等腰三角形，
∴分以下两种情况：
①当BC = BM时，
在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，AC = 4，
∴AB = 2AC = 8，
BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 4$\sqrt{3}$，
∴AM = AB - BM = AB - BC = 8 - 4$\sqrt{3}$；
②当CM = BM时，∠MCB = ∠B = 30°，
∴∠MCA = ∠A = 60°，
∴CM = AM，
∴AM = BM = $\frac{1}{2}$AB = 4.
综上所述，AM的长为8 - 4$\sqrt{3}$或4.