《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1. 先化简，再求值：
$(1 - \frac{1}{a + 2}) \div \frac{a^2 - 1}{a + 2}$，其中$a = 2$.

答案： 解：原式$=\frac{a + 2 - 1}{a + 2}\div\frac{(a + 1)(a - 1)}{a + 2}$
$=\frac{a + 1}{a + 2}\times\frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{1}{a - 1}$，
当$a = 2$时，原式$=\frac{1}{2 - 1}=1$。

2. [2024太原万柏林区二模]先化简，再求值：
$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \div (\frac{x}{x - 1} - 1)$，其中$x = \sqrt{2} - 1$.

答案： 解：原式$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2}\div\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2}\times(x - 1)$
$=x + 1$，
当$x = \sqrt{2}-1$时，原式$=\sqrt{2}-1 + 1=\sqrt{2}$。

3. [2024吕梁交城县一模]先化简，再求值：
$(x - 2 - \frac{x^2 - 4x}{x + 2}) \div \frac{4}{x + 2} + \frac{x + 3}{x}$，其中$x = \sqrt{2}$.

答案： 解：原式$=[\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}-\frac{x^2 - 4}{x + 2}]\cdot\frac{x + 2}{4}+\frac{x + 3}{x}$
$=(\frac{x^2 - 4}{x + 2}-\frac{x^2 - 4x}{x + 2})\cdot\frac{x + 2}{4}+\frac{x + 3}{x}$
$=\frac{x^2 - 4 - x^2 + 4x}{x + 2}\cdot\frac{x + 2}{4}+\frac{x + 3}{x}$
$=\frac{4x - 4}{x + 2}\cdot\frac{x + 2}{4}+\frac{x + 3}{x}$
$=x - 1+\frac{x + 3}{x}$
$=\frac{x^2 - x}{x}+\frac{x + 3}{x}$
$=\frac{x^2 + 3}{x}$，
当$x = \sqrt{2}$时，原式$=\frac{2 + 3}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。

4. 先化简，再求值：
$(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a}{a^2 + 2a + 1}$，请你从$-2 ＜ a ＜ 2$的整数解中选取一个合适的数代入求值.

答案： 解：原式$=\frac{a}{a + 1}\cdot\frac{(a + 1)^2}{a}=a + 1$，
$\because a\neq -1$且$a\neq 0$，
$\therefore$取$a = 1$，
当$a = 1$时，原式$=2$。

5. 先化简$\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 4} \div (1 - \frac{3}{a + 2})$，再从2，-2，1，-1四个数中选择一个合适的数代入求值.

答案： 解：原式$=\frac{(a - 1)^2}{(a + 2)(a - 2)}\div\frac{a + 2 - 3}{a + 2}$
$=\frac{(a - 1)^2}{(a + 2)(a - 2)}\cdot\frac{a + 2}{a - 1}=\frac{a - 1}{a - 2}$，
$\because\begin{cases}a + 2\neq 0\\a - 2\neq 0\\a - 1\neq 0\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}a\neq -2\\a\neq 2\\a\neq 1\end{cases}$，
$\therefore$取$a = -1$，
当$a = -1$时，原式$=\frac{-1 - 1}{-1 - 2}=\frac{2}{3}$。

6. 先化简，再代入求值：
$(\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} - \frac{2}{a - 2}) \div \frac{a^2 + 2a}{a - 2}$，其中$a$是整数，且$-1 ＜ a \leq 2$.

答案： 解：原式$=[\frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)^2}-\frac{2}{a - 2}]\div\frac{a(a + 2)}{a - 2}=(\frac{a + 2}{a - 2}-\frac{2}{a - 2})\cdot\frac{a - 2}{a(a + 2)}$
$=\frac{a}{a - 2}\cdot\frac{a - 2}{a(a + 2)}=\frac{1}{a + 2}$，
$\because -1\lt a\leqslant 2$，且$a$为整数，
$\therefore a$可取$0$，$1$，$2$，
又$\because$当$a = 0$或$\pm 2$时，原式无意义，
$\therefore a$只能取$1$。
当$a = 1$时，原式$=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$。