《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

9. 如图，$△ABC$中，$AB$ $=$ $AC$，$AD⊥BC$，$CM$为$△ABC$的外角平分线，$AF$垂直$CM$于$E$，交$BC$的延长线于$F$，若$△ABF$的周长为22，$AF$ $=$ 8，则$DF$ $=$ （ ）
　　
A. 5　　
　B. 6　　　
　C. 7　　　
　D. 8

答案： C
详解：
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴BD = CD，
∵CM为△ABC的外角平分线，
∴∠ACE =∠FCE，
∵AF垂直CM于E，
∴∠AEC =∠FEC = 90°，
又
∵CE = CE，
∴△AEC≌△FEC(ASA)，
∴AC = CF，
∴AB = CF，
∵△ABF的周长为22，
∴AB + BD + DC + CF + AF = 22，
∴2DC + 2CF + AF = 22，
∵AF = 8，
∴DC + CF = 7，
即DF = 7.故选C.

10. [2024太原期末]如图，在△ABC中，AB = AC，点D是AC上一点，将△BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE，DE交AB于点F.若BC = BD，∠BAC的度数为α，则∠BFE的度数为__________.(用含α的代数式表示)

答案： 180° - 2α
详解：在△ABC中，AB = AC，∠BAC的度数为α，
∴∠C=∠ABC=$\frac{180° - \angle BAC}{2}$=90° - $\frac{1}{2}$α，
∵BC = BD，
∴∠BDC =∠C = 90° - $\frac{1}{2}$α，
∴∠ABD =∠BDC - ∠BAC = 90° - $\frac{3}{2}$α，
由折叠的性质可得∠BDE =∠BDC = 90° - $\frac{1}{2}$α，
∴∠BFE =∠ABD +∠BDE = 180° - 2α.

11. [2024太原模拟]2024年世界体育大会于2024年4月7日—11日在英国西米德兰兹郡伯明翰召开，这一盛会的官方标志为一个抽象的心形，如图1.其中存在许多全等的三角形，其下半部分可简化为图2.如图2，在等腰三角形ABC中，AC = BC，E，F是边AB上两点，连接EC，FC，EC = FC.求证：△ACE≌△BCF.

答案： 证明：
∵AC = BC，
∴∠A =∠B，
∵EC = FC，
∴∠CEF =∠CFE，
∴∠A +∠ACE =∠B +∠BCF，
∴∠ACE =∠BCF，
又AC = BC，EC = FC，
∴△ACE≌△BCF(SAS).

12. [推理能力]在△ABC中，AB = AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD = AE，∠DAE = ∠BAC = α，连接CE.
(1) 当点D在BC边上时，
①如图1，若α = 90°，则∠DCE =__________；
②如图2，若α = 40°，则∠DCE =__________；
③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并利用图3说明理由.
(2) 当点D在BC的延长线上时，如图4，请直接写出∠BAC与∠DCE的数量关系.
　　

答案： 解：
(1)①90°.②140°.
③∠BAC +∠DCE = 180°，
理由：
∵AB = AC，
∴ ∠B =∠ACB =$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)= 90° - $\frac{1}{2}$α，
∵∠DAE =∠BAC =α，
∴∠BAD =∠CAE =α - ∠CAD
又
∵AD = AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE =∠B = 90° - $\frac{1}{2}$α，
∴∠DCE =∠ACB +∠ACE = 180° - α，
∴ ∠BAC +∠DCE =α + 180° - α = 180°.
(2)∠BAC =∠DCE.
详解：
∵AB = AC，
∴∠ABD =∠ACB = 90° - $\frac{1}{2}$α，
∵∠DAE =∠BAC =α，
∴∠BAD =∠CAE =α + ∠CAD，
又
∵AD = AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE =∠ABD = 90° - $\frac{1}{2}$α，
∴∠BCE =∠ACB +∠ACE = 180° - α，
∴∠DCE = 180° - (180° - α)=α，
∴∠BAC =∠DCE.