《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

2. [2024晋中期中]图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景；图2是小强锻炼时上半身由ON位置运动到与地面CD垂直的OM位置时的示意图，已知ON = 0.8米，α = 30°，则M、N两点的距离是_______米.

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{5}$

3. 如图，作∠AOB的平分线OC，将直尺DEMN按如图所示的方式摆放，使EM边与OB重合，顶点D落在OA上，DN边与OC交于点P.

(1)猜想：△DOP是_______三角形；
(2)请将猜想到的结论进行证明.

答案： 解：
(1)等腰.
(2)证明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP = ∠BOP，
∵DN//EM，
∴∠DPO = ∠BOP，
∴∠DOP = ∠DPO，
∴OD = PD，
∴△DOP是等腰三角形.

4. 如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD = AP.

(1)若∠APD = 80°，求∠DPC的度数；
(2)若∠APD = α，求∠BAP的度数(用含α的式子表示).

答案： 解：
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC = ∠B = 60°，
在△APD中，AP = AD，
∴∠APD = ∠ADP = 80°，
∴∠PAD = 180° - 80° - 80° = 20°，
∴∠BAP = 60° - 20° = 40°，
∴ ∠APC = ∠B + ∠BAP = 60° + 40° = 100°，
∴∠DPC = ∠APC - ∠APD = 100° - 80° = 20°.
(2)在△APD中，AP = AD，
∴∠APD = ∠ADP = α，
∴∠PAD = 180° - α - α = 180° - 2α，
∴∠BAP = 60° - (180° - 2α) = 2α - 120°.

5. [2024晋中二模]如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均在格点上，则点B到线段AC的距离为 （ ）

A. 5
B. $\sqrt{5}$
C. 2
D. $\sqrt{3}$

答案： B

6. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A = ∠D = 90°，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是 （ ）

A. AB = DC
B. AC = DB
C. ∠ABC = ∠DCB
D. ∠ABD = ∠DCA

答案： D

7. [2024吕梁期末]观察与绘图
已知下面正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都叫做格点.



(1)如图1，A，B，C是小正方形的顶点，则AB = _______，∠ABC = _______；
(2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(3)在图3中以格点为顶点画一个三角形，使该三角形的三边长分别为2，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$.

答案：
解：
(1)$2\sqrt{5}$；45°.
(2)如图所示.(画法不唯一)

(3)如图所示.(画法不唯一)

8. [2024阳泉三模]如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，若∠ABD = 20°，BD = BA，则∠C的度数为_________.

答案： 40°

9. 如图，△ABC中，AB = AC，点D，E分别为边AC，AB上的点，BE = CD.

(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？
(2)连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE.

答案：
解：
(1)△ABD与△ACE全等.
理由：
∵AB = AC，BE = CD，
∴AB - BE = AC - CD，即AE = AD，
在△ABD与△ACE中，
$\begin{cases}AD = AE,\\\angle A = \angle A,\\AB = AC,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)证明：如图，

由
(1)知AD = AE，
∴A在DE的中垂线上，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD = ∠ACE，
在△CDF与△BEF中，
$\begin{cases}\angle ACE = \angle ABD,\\\angle CFD = \angle BFE,\\CD = BE,\end{cases}$
∴△CDF≌△BEF(AAS)，
∴DF = EF，
∴F在DE的中垂线上，
∴AF垂直平分DE.