《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

8. 已知不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 2 \\ x + 1 ＜ b\end{cases}$的解集是$-1 ＜ x ＜ 1$，则$(a + b)^{2024}$ = （ ）
A. 0
B. -1
C. 1
D. 2024

答案： C

9. [2024大同期末]如果点P(2m - 1, 2 + m)在第一象限，那么m的取值范围是（ ）
A. 0 ＜ m ＜ $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$ ＜ m ＜ 2
C. m ＞ -2
D. m ＞ $\frac{1}{2}$

答案： D

10. [2024南充]若关于x的不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5 \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为x ＜ 3，则m的取值范围是（ ）
A. m ＞ 2
B. m≥2
C. m ＜ 2
D. m≤2

答案： B
详解：解$\begin{cases}2x - 1 ＜5\\x ＜ m + 1\end{cases}$得$\begin{cases}x ＜3\\x ＜ m + 1\end{cases}$
∵不等式组的解集为$x ＜3$，
∴$m + 1\geqslant3$，
∴$m\geqslant2$.

11. 若关于x的不等式组$\begin{cases}a - 2 ＜ x \\ \frac{x + 1}{2}\leqslant1\end{cases}$无解，则a的取值范围是（ ）
A. a≥3
B. a≤3
C. a ＞ 3
D. a ＜ 3

答案： A
详解：$\begin{cases}a - 2 ＜ x①\\\frac{x + 1}{2}\leqslant1②\end{cases}$
解不等式①，得$x ＞ a - 2$，
解不等式②，得$x\leqslant1$，
∵不等式组$\begin{cases}a - 2 ＜ x\\\frac{x + 1}{2}\leqslant1\end{cases}$无解，
∴$a - 2\geqslant1$，
∴$a\geqslant3$.

12. 如果关于x的不等式组$\begin{cases}x - m\leqslant1 \\ x + 1\geqslant2m\end{cases}$无解，求关于x的不等式2x + 2 ＜ mx + m的解集.

答案： 解：解不等式组可得$\begin{cases}x\leqslant m + 1\\x\geqslant2m - 1\end{cases}$，
∵不等式组无解，
∴$2m - 1 ＞ m + 1$，解得$m ＞ 2$.
$2x + 2 ＜ mx + m$，移项得$2x - mx ＜ m - 2$，即$(2 - m)x ＜ m - 2$，
∵$m ＞ 2$，
∴$2 - m ＜ 0$，
∴$x ＞ -1$.

13. [运算能力·2024晋城期中]阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”.
例如：方程2x - 6 = 0的解为x = 3，不等式组$\begin{cases}x - 2 ＞ 0 \\ x ＜ 5\end{cases}$的解集为2 ＜ x ＜ 5.
∵2 ＜ 3 ＜ 5，
∴方程2x - 6 = 0为不等式组$\begin{cases}x - 2 ＞ 0 \\ x ＜ 5\end{cases}$的“相伴方程”.
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：
下列方程是不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ 0 \\ x ＜ 2\end{cases}$的“相伴方程”的是________.(填序号)
①x + 3 = 0；②3x - 1 = 0；③-5x + 3 = 8.
(2)若关于x的方程2x - a = 2是不等式组$\begin{cases}x - 1\geqslant4x - 10 \\ 4 - x ＜ 3x - 6\end{cases}$的“相伴方程”，求a的取值范围.

答案： 解：
(1)②.
详解：解不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ 0\\x ＜ 2\end{cases}$，
得$-1 ＜ x ＜ 2$，
解方程①$x + 3 = 0$，得$x = -3$，
解方程②$3x - 1 = 0$，得$x = \frac{1}{3}$，
解方程③$-5x + 3 = 8$，得$x = -1$，
∵$-1 ＜ \frac{1}{3} ＜ 2$，
∴不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ 0\\x ＜ 2\end{cases}$的“相伴方程”是②.
(2)解不等式组$\begin{cases}4 - x\geqslant4x - 1\\x - 1 ＜ 3x - 6\end{cases}$，
得$\frac{5}{2} ＜ x\leqslant3$.
解方程$2x - a = 2$得$x = \frac{2 + a}{2}$.
∵关于$x$的方程$2x - a = 2$是不等式组$\begin{cases}4 - x\geqslant4x - 1\\x - 1 ＜ 3x - 6\end{cases}$的“相伴方程”，
∴$\begin{cases}\frac{5}{2} ＜ \frac{2 + a}{2}\\\frac{2 + a}{2}\leqslant3\end{cases}$，解得$3 ＜ a\leqslant4$.
即$a$的取值范围是$3 ＜ a\leqslant4$.