《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1. 计算：
(1) $\frac{a^{2}}{a - 2}+2 - a$；
(2) $\frac{4}{a^{2}-4}+\frac{2}{a + 2}-\frac{1}{a - 2}$；
(3) $\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}-x}+\frac{x + 3}{x^{2}-1}$；
(4) $\frac{4ab}{4a^{2}-b^{2}}-\frac{4a^{2}+b^{2}}{b^{2}-4a^{2}}-2a + b$.

答案： 解:
(1) 原式=$\frac{a^{2}}{a - 2}-(a - 2)$
=$\frac{a^{2}}{a - 2}-\frac{(a - 2)^{2}}{a - 2}$
=$\frac{a^{2}-(a - 2)^{2}}{a - 2}$
=$\frac{4a - 4}{a - 2}$.
(2) 原式=$\frac{4}{(a + 2)(a - 2)}+\frac{2(a - 2)}{(a + 2)(a - 2)}-\frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$
=$\frac{4 + 2a - 4 - a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
=$\frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
=$\frac{1}{a + 2}$.
(3) 原式=$\frac{x - 1}{x(x - 1)}-\frac{2}{x(x - 1)}+\frac{x + 3}{(x + 1)(x - 1)}$
=$\frac{x - 3}{x(x - 1)}+\frac{x + 3}{(x + 1)(x - 1)}$
=$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)}+\frac{x(x + 3)}{x(x + 1)(x - 1)}$
=$\frac{x^{2}-2x - 3 + x^{2}+3x}{x(x - 1)(x + 1)}$
=$\frac{2x(x - 1)+3(x - 1)}{x(x - 1)(x + 1)}$
=$\frac{(2x + 3)(x - 1)}{x(x - 1)(x + 1)}$
=$\frac{2x + 3}{x(x + 1)}$.
(4) 原式=$\frac{4ab}{4a^{2}-b^{2}}+\frac{4a^{2}+b^{2}}{4a^{2}-b^{2}}-(2a - b)$
=$\frac{4ab + 4a^{2}+b^{2}}{(2a + b)(2a - b)}-(2a - b)$
=$\frac{(2a + b)^{2}}{(2a + b)(2a - b)}-(2a - b)$
=$\frac{2a + b}{2a - b}-(2a - b)$
=$\frac{2a + b}{2a - b}-\frac{(2a - b)^{2}}{2a - b}$
=$\frac{2a + b-(4a^{2}-4ab + b^{2})}{2a - b}$
=$\frac{-4a^{2}+4ab - b^{2}+2a + b}{2a - b}$.

2. [2023杭州二模]某同学化简式子$\frac{x}{x - 1}-\frac{1}{x + 1}-1$时出现了错误，解答过程如下：
解：$\frac{x}{x - 1}-\frac{1}{x + 1}-1$
$=\frac{x(x + 1)}{x^{2}-1}-\frac{x - 1}{x^{2}-1}-1$(第一步)
$=x(x + 1)-(x - 1)-1$(第二步)
$=x^{2}+x - x + 1 - 1$(第三步)
$=2$.(第四步)
(1)该同学的解答过程从第______步开始出错；
(2)请写出此题的正确解答过程.

答案： 解:
(1) 二.
(2) 原式=$\frac{x(x + 1)}{x^{2}-1}-\frac{x - 1}{x^{2}-1}-1$
=$\frac{x^{2}+x - x + 1}{x^{2}-1}-1$
=$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}-\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}$
=$\frac{x^{2}+1 - x^{2}+1}{x^{2}-1}$
=$\frac{2}{x^{2}-1}$.

3. 化简$(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})\div\frac{x - y}{x}$的结果是 ( )
A. $\frac{1}{y}$
B. $\frac{x + y}{y}$
C. $\frac{x - y}{y}$
D. $y$

答案： B

4. 计算：
(1) $\frac{x^{2}-4}{x + 2}\div(4 - 2x)$；
(2) $\frac{2a + 2}{a - 1}\div(a + 1)-\frac{a^{2}-1}{a^{2}-2a + 1}$；
(3)[2024晋中一模]$\frac{a^{2}-6a + 9}{a^{2}-2a}\div(1-\frac{1}{a - 2})$.

答案： 解:
(1) 原式=$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2}\cdot\frac{1}{4 - 2x}$
=$(x - 2)\cdot\frac{1}{-2(x - 2)}$
=$-\frac{1}{2}$.
(2) 原式=$\frac{2(a + 1)}{a - 1}\cdot\frac{1}{a + 1}-\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^{2}}$
=$\frac{2}{a - 1}-\frac{a + 1}{a - 1}$
=$\frac{2 - a - 1}{a - 1}$
=$\frac{1 - a}{a - 1}$
=$-1$.
(3) 原式=$\frac{(a - 3)^{2}}{a(a - 2)}\div\frac{a - 2 - 1}{a - 2}$
=$\frac{(a - 3)^{2}}{a(a - 2)}\cdot\frac{a - 2}{a - 3}$
=$\frac{a - 3}{a}$.

5. [2023大同期末]先化简，再求值：$(\frac{1}{x - y}+\frac{1}{x + y})\div\frac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}$，其中$x=\sqrt{2}+1$，$y=\sqrt{2}-1$.

答案： 解: 原式=$\frac{(x + y)+(x - y)}{(x - y)(x + y)}\cdot\frac{(x - y)(x + y)}{x^{2}y}=\frac{2x}{x^{2}y}=\frac{2}{xy}$,
∵$x=\sqrt{2}+1$, $y=\sqrt{2}-1$,
∴ 原式=$\frac{2}{(\sqrt{2}+1)\times(\sqrt{2}-1)} = 2$.