《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1. 如图，在$△ABC$中，$AB$ $=$ $AC$，点$D$在边$BC$上，过$D$点的直线分别交$AB$于点$E$，交$AC$的延长线于点$F$，且$BE$ $=$ $CF.$求证$：DE$ $=$ $DF.$
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：过点E作EG//AC交BC于G，
∴∠ACB = ∠BGE，∠F = ∠DEG.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB，
∴∠B = ∠BGE，
∴BE = GE.
又
∵BE = CF，
∴GE = CF.
在△GDE和△CDF中，
$\begin{cases}\angle DEG = \angle F, \\\angle GDE = \angle CDF, \\GE = CF,\end{cases}$
∴△GDE≌△CDF(AAS).
∴DE = DF.

2. 如图，已知△ABC为等边三角形，∠ADE = 60°，CE为△ABC的外角平分线.求证：△ADE为等边三角形.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：如图，过点D作DG//AC交AB于点G，设AC与DE交点为M，BC的延长线上一点为F，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B = ∠BAC = 60°，AB = BC，
∵DG//AC，
∴∠DAC = ∠ADG，∠BGD = ∠BAC = 60°，
∴∠AGD = 180° - 60° = 120°，△GDB为等边三角形，
∴BG = BD，
∴AB - BG = BC - BD，即AG = CD.
易得∠ACF = 180° - 60° = 120°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE = ∠ECF = 60°，
∴∠DCE = 120°，
∴∠AGD = ∠DCE.
∵∠AMD = ∠EMC，∠ADE = 60° = ∠ACE，
∴∠DAC = ∠DEC = ∠ADG.
在△AGD和△DCE中，
$\begin{cases}\angle ADG = \angle DEC, \\\angle AGD = \angle DCE, \\AG = CD,\end{cases}$
∴△AGD≌△DCE(AAS)，
∴AD = DE.
又∠ADE = 60°，
∴△ADE是等边三角形.

3. 如图，AD为△ABC的角平分线，E为边BC的中点，EF//AD交AC于点F.求证：AB + AF = CF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：如图，延长BA，EF交于点K，延长FE到点L，使EL = EF，连接BL.

∵BE = EC，∠BEL = ∠CEF，EL = EF，
∴△BEL≌△CEF，
∴BL = CF，∠L = ∠EFC.
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠DAC.
∵EF//AD，
∴∠BAD = ∠K，∠DAC = ∠AFK，
∴∠K = ∠AFK，
∴AK = AF.
∵∠EFC = ∠L，∠EFC = ∠AFK，∠K = ∠AFK，
∴∠K = ∠L，
∴BL = BK.
∴AB + AF = AB + AK = BK = BL = CF.

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 18，DE是线段AB的垂直平分线，求BD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：连接AD，如图.

∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD = BD，
∴CD = BC - BD = 18 - AD，
在Rt△ACD中，$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}$，即$AD^{2}=12^{2}+(18 - AD)^{2}$，解得AD = 13，
∴BD = AD = 13.