《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1. 已知△ABC是等腰三角形，且∠A = 40°，那么∠ACB的外角的度数是 （ ）
A. 110°
B. 140°
C. 110°或140°
D. 以上都不对

答案： D

2. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是__________；若一个等腰三角形的一个角为50°，则另两个角的度数分别为________________.

答案： 15; 50°, 80°或65°, 65°

3. 一个等腰三角形的三边长分别为2x - 1、x + 1、3x - 2，该等腰三角形的周长是__________.

答案： 10或7
详解：①当2x - 1 = x + 1时，解得x = 2，此时三边长分别为3，3，4，能构成三角形，周长为10.
②当2x - 1 = 3x - 2时，解得x = 1，此时三边长分别为1，2，1，不能构成三角形.
③当x + 1 = 3x - 2时，解得x = 1.5，此时三边长分别为2，2.5，2.5，能构成三角形，周长为7.
故该等腰三角形的周长是10或7.

4. 在△ABC中，AB = AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为________________.

答案：
90°或108°或36°或$(\frac{180}{7})^{\circ}$
详解：①如图1，AB = AC，AD = CD = BD，
设∠B = x°，则∠BAD = ∠B = ∠C = ∠CAD = x°，
∵∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，
∴x + x + x + x = 180，解得x = 45，
∴∠BAC = 90°.

②如图2，AB = AC = CD，BD = AD，
设∠C = x°，
则∠B = ∠BAD = ∠C = x°，
∴∠ADC = ∠B + ∠BAD = 2x°，
∴∠CAD = 2x°，
∴∠BAC = 3x°，
∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
∴x + x + 3x = 180，解得x = 36，
∴∠BAC = 108°.
③如图3，AB = AC，BC = BD = AD，
设∠A = ∠ABD = x°，
则∠CDB = ∠ABD + ∠A = 2x°，
∴∠C = 2x°，
∴∠ABC = 2x°，
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴x + 2x + 2x = 180，解得x = 36，
∴∠A = 36°.

④如图4，AB = AC，AD = BD，BC = DC，
设∠A = ∠ABD = x°，
则∠DBC = ∠BDC = 2x°，
∴∠ABC = ∠C = 3x°，
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴x + 3x + 3x = 180，
解得x = $\frac{180}{7}$，
∴∠A = $(\frac{180}{7})^{\circ}$.

综上，∠BAC = 90°或108°或36°或$(\frac{180}{7})^{\circ}$.

5. 若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是 （ ）
A. 15°
B. 75°
C. 15°或75°
D. 无法确定

答案： C

6. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，AB边上的垂直平分线与AC所在直线相交于点D，若∠DBC = 36°，则等腰三角形ABC的底角度数是________________.

答案： 12°或48°或72°

7. [2024临汾期末]在△ABC中，AB = AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12 cm和9 cm两部分，求△ABC各边的长.

答案：
解$：∵BD$是$AC$边上的中线，
$∴AD$ $=$ $DC$，
$∵△ABC$的周长为12 $+$ 9 $=$ $21(cm)$，$AB$ $=$ $AC$，
$∴AB$ $+$ $AC$ $+$ $BC$ $=$ 21 $cm$，
即$2AB$ $+$ $BC$ $=$ 21 $cm.$
如图1，当$BC$ ＞ $AB$时，$AB$ $+$ $AD$ $=$ 9 $cm$，$BC$ $+$ $CD$ $=$ 12 $cm$，
$∴(BC$ $+$ $CD)$ - $(AB$ $+$ $AD)$ $=$ 3 $cm$，
$∴BC$ - $AB$ $=$ 3 $cm$，
又$∵2AB$ $+$ $BC$ $=$ 21 $cm$，
$∴AB$ $=$ 6 $cm$，$BC$ $=$ 9 $cm$，
$∴△ABC$三边长分别为6 $cm$，6 $cm$，9 $cm$，符合三角形三边关系；

如图2，当$BC$ ＜ $AB$时，$AB$ $+$ $AD$ $=$ 12 $cm$，$BC$ $+$ $CD$ $=$ 9 $cm$，
$∴(AB$ $+$ $AD)$ - $(BC$ $+$ $CD)$ $=$ 3 $cm$，
$∴AB$ - $BC$ $=$ 3 $cm$，
又$∵2AB$ $+$ $BC$ $=$ 21 $cm$，
$∴AB$ $=$ 8 $cm$，$BC$ $=$ 5 $cm$，
$∴△ABC$三边长分别为8 $cm$，8 $cm$，5 $cm$，符合三角形三边关系.

综上，$△ABC$各边长为8 $cm$，8 $cm$，5 $cm$或6 $cm$，6 $cm$，9 $cm.$

8. 在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，△ABC的面积为10，求BC的长.

答案：
解：作CD⊥AB所在直线于D，
则∠ADC = ∠BDC = 90°，△ABC的面积 = $\frac{1}{2}$AB·CD = $\frac{1}{2}$×5×CD = 10，
解得CD = 4.
∴AD = $\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3.
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1，BD = AB - AD = 2，
∴BC = $\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$；

②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2，BD = AB + AD = 8，
∴BC = $\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+4^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$.

综上所述，BC的长为2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$.

9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO = 60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是 （ ）

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： B

10. [2024晋城期末]如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有________个.

答案： 5