《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的格点应是（ ）

A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q

答案： A

9.[2024晋中期中]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE = 10，DF = 6，则AC的长为（ ）

A. 13
B. 14
C. 16
D. 18

答案： D

10.[2024晋城三模]如图，函数y = $\frac{3}{4}x + 9$的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，∠BAO的平分线AC与y轴交于点C，则点C的纵坐标为（ ）

A. 4
B. $\frac{9}{2}$
C. 5
D. 6

答案： A

11.[2024阳泉模拟预测]如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D.若AC = 12，则AD = ________.

答案： 8

12.[2024运城期中]综合与实践
如图，已知∠AOB = 60°，OC平分∠AOB，CF⊥OA于点F，∠CBO = 45°，CF = 4.
(1)求OB的长；
(2)若P为射线OA上的动点，连接CP，BP，当△BCP是等腰三角形时，求此时OP的长.

答案：
解：
(1)过C作CE⊥OB于E，如图.

∵OC平分∠AOB，CF⊥OA，CE⊥OB，∠AOB = 60°，
∴CE = CF = 4，
∠AOC = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°.
∵∠CBO = 45°，CE⊥OB，
∴∠ECB = ∠CBO = 45°，
∴BE = CE = 4.
∵∠BOC = 30°，CE⊥OB，
∴OC = 2CE = 8，
由勾股定理，得OE = $\sqrt{OC^{2}-CE^{2}}$ = 4$\sqrt{3}$，
∴OB = OE + BE = 4$\sqrt{3}$ + 4.
(2)如图，当点P在线段OF上，且PC = BC时，
由
(1)知，BC = $\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}$ = 4$\sqrt{2}$，
∴PC = 4$\sqrt{2}$.
∵CF = 4，CF⊥OA，
∴PF = $\sqrt{PC^{2}-CF^{2}}$ = 4.
∵OC = 8，CF = 4，
∴OF = $\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}$ = 4$\sqrt{3}$，
∴OP = OF - PF = 4$\sqrt{3}$ - 4.
作点P关于CF的对称点P₁，则CP = CP₁，PF = P₁F，
∴CB = CP₁，此时△CP₁B也是等腰三角形，
∴OP₁ = OF + FP₁ = OF + FP = 4$\sqrt{3}$ + 4.

易知PB = BC与PC = PB的情况不存在.
综上，当△BCP是等腰三角形时，OP = 4$\sqrt{3}$ - 4或OP = 4$\sqrt{3}$ + 4.

13.[应用意识·2024晋中期末]为改善一线环卫工人的工作环境，某社区服务中心计划修建一个“爱心驿站”，请你帮忙确定“爱心驿站P”所在的位置，要求：
①“爱心驿站”到公路AB和BC的距离相等；
②“爱心驿站”到小区M和N的距离相等；
③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.

答案：
解：如图，点P即为所求.