《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1.[2023朔州期末]分式$\frac{1}{3x^{2}y^{2}}$和$\frac{1}{4xy^{3}}$的最简公分母是__________.

答案： $12x^{2}y^{3}$

2.通分：
(1)$\frac{1}{4a^{2}b^{2}}$，$\frac{x}{6ab^{3}c}$；
(2)$\frac{x}{2(x + y)}$，$\frac{2y}{3(x - y)}$.

答案： 解：
(1)$\frac{1}{4a^{2}b^{2}}=\frac{3bc}{12a^{2}b^{3}c}$，$\frac{x}{6ab^{3}c}=\frac{2ax}{12a^{2}b^{3}c}$。
(2)$\frac{x}{2(x + y)}=\frac{3x(x - y)}{6(x + y)(x - y)}$，$\frac{2y}{3(x - y)}=\frac{4y(x + y)}{6(x + y)(x - y)}$。

3.[2022山西]化简$\frac{1}{a - 3}-\frac{6}{a^{2} - 9}$的结果是（ ）
A.$\frac{1}{a + 3}$
B.$a - 3$
C.$a + 3$
D.$\frac{1}{a - 3}$

答案： A

4.[2023吕梁一模]小明在化简$\frac{A}{a^{2} - b^{2}}-\frac{a}{a + b}$时，计算得正确的结果为$\frac{ab}{a^{2} - b^{2}}$，则字母$A$所代表的整式是（ ）
A.$2ab - a^{2}$
B.$ab + a$
C.$ab - a$
D.$a^{2}$

答案： D

5.下列计算正确的是（ ）
A.$\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{3(a + b)}$
B.$\frac{b}{a}-\frac{b + 1}{ab}=\frac{b^{2} - b + 1}{ab}$
C.$\frac{2}{a - b}+\frac{1}{a}=\frac{3a - b}{a(a - b)}$
D.$\frac{m}{a}+\frac{m}{b}=\frac{2m}{ab}$

答案： C

6.计算：
(1)$\frac{n + 1}{m}+\frac{1}{4n}$；
(2)$\frac{3}{ab}-\frac{a - 15}{5a^{2}}$；
(3)$\frac{2}{x - 1}-\frac{3}{x + 2}$.

答案： 解：
(1)原式=$\frac{4n(n + 1)}{4mn}+\frac{m}{4mn}=\frac{4n^{2}+4n + m}{4mn}$。
(2)原式=$\frac{3\cdot5a}{5a^{2}b}-\frac{b(a - 15)}{5a^{2}b}=\frac{15a - ab + 15b}{5a^{2}b}$。
(3)原式=$\frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}-\frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{2x + 4 - 3x + 3}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{7 - x}{(x - 1)(x + 2)}$。

7.先化简，再求值：
(1)[2023运城期末]$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}-\frac{2x + 1}{2x + 6}$，其中$x = 0$；
(2)[2024阳泉一模改编]$\frac{2 - x}{x^{2} - 4}+\frac{2x - 4}{x^{2} - 4x + 4}$，其中$x = 4$.

答案：
解：
(1)原式=$\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^{2}}-\frac{2x + 1}{2(x + 3)}=\frac{x - 3}{x + 3}-\frac{2x + 1}{2(x + 3)}=\frac{2(x - 3)}{2(x + 3)}-\frac{2x + 1}{2(x + 3)}=\frac{2x - 6 - 2x - 1}{2(x + 3)}=-\frac{7}{2(x + 3)}$，　　　　　　
$\because x = 0$，$\therefore$原式$=-\frac{7}{6}$。
(2)原式=$\frac{2 - x}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x - 2)^{2}}=\frac{2 - x}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2}{x - 2}=\frac{2 - x}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{2 - x + 2x + 4}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x + 6}{(x + 2)(x - 2)}$，
$\because x = 4$，$\therefore$原式$=\frac{5}{6}$。

8.计算：$\frac{2}{ax^{2} - 2ax + a}-\frac{x + 2}{x - 1}=$__________.

答案： $\frac{-ax^{2}-ax + 2a + 2}{a(x - 1)^{2}}$