《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

11. [2024朔州期末]多项式 $x^{a}-y^{2}$（其中 $1\leqslant a\leqslant6$，且 $a$ 为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则 $a$ 的值的可能性有 （ ）
A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 4种

答案： C

12. [2023河北]若 $k$ 为任意整数，则 $(2k + 3)^{2}-4k^{2}$ 的值总能 （ ）
A. 被2整除
B. 被3整除
C. 被5整除
D. 被7整除

答案： B

13. 已知 $a$，$b$，$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边的长，且满足 $a^{2}-b^{2}=c(a - b)$，则 $\triangle ABC$ 是 （ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形

答案： D

14. [2023苏州]已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $(1,3)$ 和 $(-1,2)$，则 $k^{2}-b^{2}=$ __________.

答案： −6

15. 利用因式分解计算：$1.2^{2}\times9 - 1.3^{2}\times4$.

答案： 解:原式=(1.2×3)² - (1.3×2)²=(3.6 + 2.6)×(3.6 - 2.6)=6.2.

16. 已知 $m^{2}=n + 1$，$n^{2}=m + 1(m\neq n)$，求 $m$，$n$ 的和.

答案： 解:已知m² = n + 1, n² = m + 1,
两式相减, 得m² - n² = n - m,
∴(m + n)(m - n)=n - m.
∵m≠n,
∴m - n≠0.
等式两边都除以m - n, 得m + n = -1.

17. 已知 $2^{96}-1$ 可以被在60至70之间的两个整数整除，求这两个整数.

答案： 解$:2⁹⁶ - 1=(2⁴⁸)² - 1=(2⁴⁸ + 1)(2⁴⁸ - 1)=(2⁴⁸ + 1)[(2²⁴)² - 1]=(2⁴⁸ + 1)(2²⁴ + 1)(2²⁴ - 1)=(2⁴⁸ + 1)(2²⁴ + 1)[(2¹²)² - 1]=(2⁴⁸ + 1)(2²⁴ + 1)(2¹² + 1)(2¹² - 1)=(2⁴⁸ + 1)(2²⁴ + 1)(2¹² + 1)[(2⁶)² - 1]=(2⁴⁸ + 1)(2²⁴ + 1)(2¹² + 1)(2⁶ + 1)(2⁶ - 1),$
其中$2⁶ + 1 = 65, 2⁶ - 1 = 63,$
所以这两个整数是$65$和$63.$

18. 在日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，原理是对于多项式 $x^{4}-y^{4}$，因式分解的结果是 $(x + y)(x - y)(x^{2}+y^{2})$，若取 $x = 9$，$y = 9$，则各因式的值是：$x + y = 18$，$x - y = 0$，$x^{2}+y^{2}=162$，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码.那么对于多项式 $9x^{3}-xy^{2}$，当 $x = 11$，$y = 6$ 时，求用上述方法产生的密码.

答案： 解:9x³ - xy² = x(9x² - y²)=x(3x + y)(3x - y).
当x = 11, y = 6时,
3x + y = 39, 3x - y = 27,
所以密码是113927或112739或391127或392711或273911或271139.

19. [推理能力·2024宁波鄞州一模]观察前后两个差为4的整数的平方差：
①$5^{2}-1^{2}=8\times3$；
②$6^{2}-2^{2}=8\times4$；
③$7^{2}-3^{2}=8\times5$；
……
(1) 写出第 $n$ 个等式，并进行证明.
(2) 2024能否写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出等式；如果不能，请说明理由.

答案： 解$:(1)$由$5² - 1² = 8×3, $可得$(1 + 4)² - 1² = 8×(1 + 2);$
由$6² - 2² = 8×4, $可得$(2 + 4)² - 2² = 8×(2 + 2);$
由$7² - 3² = 8×5, $可得$(3 + 4)² - 3² = 8×(3 + 2); ……$
∴第$n$个等式是$(n + 4)² - n² = 8(n + 2).$
证明$: $左边$=(n + 4 + n)(n + 4 - n)=(4 + 2n)×4 = 8(n + 2)=$右边$.$
$(2)$可以$, 2024 = 255² - 251².$
详解$: $令$8(n + 2)=2024,$
解得$n = 251,$
故$2024 = 255² - 251².$