《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

7.如图，∠BAC = 120°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于 （ ）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
　

答案： A

8.[2024运城期末]如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠BAC = 75°，分别以A、C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点，过G、H两点作直线，分别交BC、AC于E、F两点，已知CE = 4 cm，则BC =________cm.
　

答案： (2$\sqrt{3}$+ 4)

9.如图，某社区要在居民区$A$，$B$所在的直线上建一图书室$E$，并使图书室$E$到本社区两所学校$C$和$D$的距离相等.已知$CA⊥AB$，$DB⊥AB$，垂足分别为$A$，$B$，且$AB$ $=$ 2.5 $km$，$CA$ $=$ 1.5 $km$，$BD$ $=$ 1.0 $km.$
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点$E($不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求图书室$E$到居民区$A$的距离.
　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图，点E即为所求.

(2)连接CE，DE，如图.设图书室E到居民区A的距离为x km，即AE = x km，则EB = (2.5 - x)km，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAE = ∠DBE = 90°，
∵CE = DE，
∴由勾股定理得，
AC² + AE² = DB² + EB²，
即1.5² + x² = (2.5 - x)² + 1²，
解得x = 1.
∴图书室E到居民区A的距离为1 km.

10.[创新考法·2023泰州]如图，$CD$是五边形$ABCDE$的一边，若$AM$垂直平分$CD$，垂足为$M$，且________，________，则________.
给出下列信息$：①AM$平分$∠BAE$；$②AB$ $=$ $AE$；$③BC$ $=$ $DE.$请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：②；③；①(或①；②；③，选择一种即可).
选择②；③；①.
证明：根据题意补全图形并连接AC，AD，如图.
∵AM垂直平分CD，
∴AC = AD，
∴∠CAM = ∠DAM，在△ABC与△AED中，$\begin{cases}AB = AE,\\AC = AD,\\BC = ED,\end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SSS)，
∴∠BAC = ∠EAD，
∴∠BAC + ∠CAM = ∠EAD + ∠DAM
即∠BAM = ∠EAM = $\frac{1}{2}$∠BAE，
∴AM平分∠BAE.

选择①；②；③.
证明：根据题意补全图形并连接AC、AD，如图.
∵AM垂直平分CD，
∴AC = AD，
∴∠CAM = ∠DAM，
∵AM平分∠BAE，
∴∠BAM = ∠EAM，
∴∠BAM - ∠CAM = ∠EAM - ∠DAM
即∠BAC = ∠EAD，
在△ABC与△AED中，
$\begin{cases}AB = AE,\\∠BAC = ∠EAD,\\AC = AD,\end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴BC = DE.