《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

17. 如图，已知线段$AB = 2$，点$P$是线段$AB$上一点，分别以$AP$，$BP$为边作两个正方形.
(1)如果$AP = x$，求两个正方形的面积之和$S$(用含$x$的代数式表示)；
(2)当点$P$是$AB$的中点时，求两个正方形的面积之和$S_{1}$；
(3)当点$P$不是$AB$的中点时，比较(1)中的$S$与(2)中$S_{1}$的大小.

答案： 解:
(1)$\because AP = x$,
$\therefore BP = 2 - x$,
$\therefore S = x^{2}+(2 - x)^{2}=2x^{2}-4x + 4$.
(2)当点P是AB的中点时, $AP = 1$, $BP = 1$,
$\therefore S_{1}=AP^{2}+BP^{2}=1^{2}+1^{2}=2$.
(3)$S - S_{1}=2x^{2}-4x + 4 - 2=2x^{2}-4x + 2=2(x - 1)^{2}$.
当点P不是AB的中点时, $x\neq1$,
$\therefore 2(x - 1)^{2}＞0$,
故$S＞S_{1}$.

18. [2024临汾期末]【阅读材料】
19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼给出了一种分解因式$x^{4}+4$的方法：她抓住了该式只有两项，且属于平方和$(x^{2})^{2}+2^{2}$的形式的特点，要使用公式法就必须添一项$4x^{2}$，随即将此项$4x^{2}$减去，即可得$x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2 + 2x)(x^{2}+2 - 2x)$.人们为了纪念苏菲·热尔曼给出的这一解法，就把它叫做“热尔曼定理”.

【知识应用】
(1)利用“热尔曼定理”把$m^{4}+64$分解因式.

【知识迁移】
“热尔曼定理”的本质是构造完全平方式，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方式进行分解.例如对于二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$，可以先加上一项$a^{2}$，使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式，再减去$a^{2}$，整个式子的值不变，于是有$x^{2}+2xa - 3a^{2}=(x^{2}+2xa + a^{2})-a^{2}-3a^{2}=(x + a)^{2}-4a^{2}=(x + a)^{2}-(2a)^{2}=(x + 3a)(x - a)$，像这样的方法统称为“配方法”.
(2)请利用“配方法”分解因式：
①$m^{2}-10m + 16$；
②$a^{4}+a^{2}+1$.

答案： 18.解:
(1)原式=m⁴+64+16m²−16m²
　=(m²+8)²−16m²
　=(m²+8−4m)(m²+8+4m).
(2)①原式=m²−10m+16+9−9
　=m²−10m+25−9
　=(m−5)²−3²
　=(m−5+3)(m−5−3)
　=(m−2)(m−8).
　②原式=a⁴+2a²+1−a²
　=(a²+1)²−a²
　=(a²+a+1)(a²−a+1).