《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

1. [2024济宁]解分式方程$1 - \frac{1}{3x - 1}=-\frac{5}{2 - 6x}$时，去分母变形正确的是（ ）
A. $2 - 6x + 2 = - 5$
B. $6x - 2 - 2 = - 5$
C. $2 - 6x - 1 = 5$
D. $6x - 2 + 1 = 5$

答案： A

2. 分式方程$\frac{2}{x - 1}-1 = 0$的解是（ ）
A. $x = 1$
B. $x = - 2$
C. $x = 3$
D. $x = - 3$

答案： C

3. 已知$x = 2$是分式方程$\frac{x}{k}+\frac{x - 3}{x - 1}=0$的解，那么实数$k$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

4. [2024临汾期末]以下是某同学解分式方程$\frac{2x}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$的部分过程：
解：整理，得$\frac{2x}{x - 2}=\frac{x - 1}{x - 2}-3$，……第一步
方程两边都乘……
(1) 该同学解题过程中第一步的依据是______________；
(2)将该同学的解答过程补充完整.

答案： 解:
(1) 分式的基本性质.
(2) 方程两边都乘$(x - 2)$，得$2x = x - 1 - 3(x - 2)$，解得$x=\frac{5}{4}$，
检验: 当$x=\frac{5}{4}$时，$x - 2\neq0$，
所以$x=\frac{5}{4}$是原方程的解.

5. 解方程：
(1)[2024广州]$\frac{1}{2x - 5}=\frac{3}{x}$；
(2)[2023山西]$\frac{1}{x - 1}+1=\frac{3}{2x - 2}$；
(3)[2024陕西]$\frac{2}{x^{2}-1}+\frac{x}{x - 1}=1$.

答案： 解:
(1) 方程两边都乘$x(2x - 5)$，得$x = 3(2x - 5)$，去括号，得$x = 6x - 15$，
移项，得$x - 6x = - 15$，
合并同类项，得$-5x = - 15$，解得$x = 3$.
检验: 当$x = 3$时，$x(2x - 5)\neq0$，
所以该分式方程的解为$x = 3$.
(2) 原方程可化为$\frac{1}{x - 1}+1=\frac{3}{2(x - 1)}$，
方程两边同乘$2(x - 1)$，得$2 + 2(x - 1)=3$，
解得$x=\frac{3}{2}$.
检验: 当$x=\frac{3}{2}$时，$2(x - 1)\neq0$，
所以原方程的解是$x=\frac{3}{2}$.
(3) 方程两边都乘$(x + 1)(x - 1)$，得$2 + x(x + 1)=x^{2}-1$，
去括号，得$2 + x^{2}+x=x^{2}-1$，
解得$x = - 3$，
检验: 把$x = - 3$代入$(x + 1)(x - 1)$得$(-3 + 1)(-3 - 1)=8\neq0$，
所以$x = - 3$是原方程的解.

6. 解分式方程$\frac{2}{x + 1}+\frac{3}{x - 1}=\frac{6}{x^{2}-1}$分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A. 最简公分母是$(x + 1)(x - 1)$
B. 去分母，得$2(x - 1)+3(x + 1)=6$
C. 解整式方程，得$x = 1$
D. 原方程的解为$x = 1$

答案： $D$

7. [2023永州]若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 4}-\frac{m}{4 - x}=1$（$m$为常数）有增根，则增根是________.

答案： 4

8. [2023巴中]关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}=3$有增根，则$m =$________.

答案： -1

9. 解方程：
(1)$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$；
(2)[2024吕梁模拟]$\frac{4}{1 - x^{2}}+\frac{x + 1}{x - 1}=1$.

答案： 解:
(1) 方程两边都乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2)-(x - 1)(x + 2)=3$，
即$x^{2}+2x - x^{2}+x - 2x + 2 = 3$，
解得$x = 1$，
检验: 当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2)=0$，即$x = 1$是原方程的增根，
所以原方程无解.
(2) 方程两边都乘$(1 - x)(1 + x)$，得$4-(x + 1)^{2}=1 - x^{2}$，
即$4 - x^{2}-2x - 1 = 1 - x^{2}$，解得$x = 1$，
当$x = 1$时，$(1 - x)(1 + x)=0$，即$x = 1$为增根，因此该分式方程无解.