《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

5. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB - AC = 3，BC = 8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC为 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A. 24
B. 12
C. 6
D. 3

答案： C

6. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B = ∠EAC，ED⊥AD于D.求证：ED平分∠AEB.
　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：延长AD交BC于F，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD = ∠CAD，
∵∠DFE = ∠B + ∠BAD，∠DAE = ∠EAC + ∠CAD，∠B = ∠EAC，
∴∠DFE = ∠DAE，
∴FE = AE，
∵ED⊥AD，
∴ED平分∠AEB.

7. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AC = $\frac{1}{2}BC$，∠ACB = 2∠B.求证：∠BAC = 90°.
　　　　　　　　　　　

答案：
证明：如图，作∠ACB的平分线交AB于点E，连接ED.

∴∠ACE = ∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ACB = 2∠B，
∴∠B = ∠ECB，
∴EB = CE，
又
∵AD为BC边上的中线，即点D为BC中点，
∴$CD = \frac{1}{2}BC$，ED⊥BC，
∴∠EDC = 90°，
又
∵$AC = \frac{1}{2}BC$，
∴AC = CD，
在△AEC和△DEC中，
$\begin{cases}AC = DC, \\\angle ACE = \angle DCE, \\CE = CE,\end{cases}$
∴△AEC≌△DEC(SAS)，
∴∠BAC = ∠EDC = 90°.

8. 如图，在△ABC中，∠ABC = 2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线.
(1) 求证：BE + DE = AB + BD；
(2) 若BD = 2，DE = 3，求AB的长.
　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1) 证明：延长DB到F，使FB = AB，连接AF，

∴∠F = ∠BAF.
∵∠ABC = ∠F + ∠BAF，
∴∠ABC = 2∠F.
∵∠ABC = 2∠C，
∴∠F = ∠C，
∴AF = AC.
∵AD⊥BC，
∴CD = FD，
即CE + DE = FB + BD.
∵AE为BC边上的中线，
∴BE = CE，
∴BE + DE = AB + BD.
(2)
∵BE + DE = AB + BD，BD = 2，DE = 3，
∴(2 + 3)+3 = AB + 2，
∴AB = 6.