《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

9. 已知$\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}\div M=\frac{1}{x - y}$，则$M$等于 （ ）
A. $\frac{2x}{x + y}$
B. $\frac{x + y}{2x}$
C. $\frac{2x}{x - y}$
D. $\frac{x - y}{2x}$

答案： A

10. 已知$A=\frac{2x + y}{x^{2}-2xy + y^{2}}\cdot(x - y)$，若$x^{2}-6xy + 9y^{2}=0$，则$A$的值为__________.

答案： $\frac{7}{2}$

11. [2023吕梁期末]计算：$\left(\frac{a - b}{ab}\right)^{2}\cdot\left(\frac{-a}{b - a}\right)^{3}\cdot(a^{2}-b^{2})$.

答案： 解: $(\frac{a - b}{ab})^{2}\cdot(\frac{-a}{b - a})^{3}\cdot(a^{2}-b^{2})=\frac{(a - b)^{2}}{a^{2}b^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{(a - b)^{3}}\cdot(a + b)(a - b)=\frac{a^{2}+ab}{b^{2}}$.

12. 先化简，再求值：$(xy - x^{2})\div\left(\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{xy}\right)^{2}\cdot\frac{(x^{2}-y^{2})(x - y)}{x^{3}y}$，其中$x = -2$，$y=\frac{1}{2}$.

答案： 解: 原式$=x(y - x)\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{(x - y)^{4}}\cdot\frac{(x + y)(x - y)^{3}}{x^{3}y}=-y(x + y)$,
当$x=-2$, $y=\frac{1}{2}$时,
原式$=-\frac{1}{2}\times(-2+\frac{1}{2})=\frac{3}{4}$.

13. [2023临汾期末]小杰同学在做“先化简，再求值：$\frac{(x - y)^{2}}{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{x^{2}+xy}{x - y}\div x^{3}$，其中$x = -3$”这道题时，错将$x = -3$看成$x = 3$，但是他的答案却是正确的，请你说明其中的原因.

答案： 解: 原式$=\frac{(x - y)^{2}}{(x + y)(x - y)}\cdot\frac{x(x + y)}{x - y}\cdot\frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}$,
当$x=-3$时, $\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{9}$,
当$x=3$时, $\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{9}$,
$\therefore$ 错将$x=-3$看成$x=3$仍然能得出正确答案.

14. 甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为$(m^{2}-1)$亩，乙地的种植面积为$(m - 1)^{2}$亩$(m ＞ 1)$，最后两块土地收获的水稻质量都是200 kg. 请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你知道哪一块土地每亩水稻产量更高吗？

答案： 解: 由题意知甲地每亩水稻的产量为$\frac{200}{m^{2}-1}$kg, 乙地每亩水稻的产量为$\frac{200}{(m - 1)^{2}}$kg,
$\frac{200}{m^{2}-1}\div\frac{200}{(m - 1)^{2}}=\frac{200}{(m + 1)(m - 1)}\cdot\frac{(m - 1)^{2}}{200}=\frac{m - 1}{m + 1}$.
$\because m＞1$, $\therefore m - 1＜m + 1$,
$\therefore 0＜\frac{m - 1}{m + 1}＜1$,
$\therefore$ 乙地每亩水稻的产量更高.
故甲地每亩水稻的产量是乙地的$\frac{m - 1}{m + 1}$倍, 乙地每亩水稻的产量更高.

15. [运算能力]已知$(a^{2}-1)^{2}+\left|\frac{a + 1}{a - 1}\right| = 0$，计算$\frac{a^{2}+4a + 4}{a^{2}-2a + 1}\cdot\frac{a - 1}{a^{2}-4}$的值.

答案： 解: $\because (a^{2}-1)^{2}+\left|\frac{a + 1}{a - 1}\right|=0$,
$\therefore (a^{2}-1)^{2}=0$, $\left|\frac{a + 1}{a - 1}\right|=0$, $\therefore a=-1$.
原式$=\frac{(a + 2)^{2}}{(a - 1)^{2}}\cdot\frac{a - 1}{(a - 2)(a + 2)}=\frac{a + 2}{(a - 2)(a - 1)}=\frac{-1 + 2}{(-1 - 2)\times(-1 - 1)}=\frac{1}{6}$.