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1.「2023广东深圳中考」如图,在平行四边形ABCD中,AB= 4,BC= 6,将线段AB水平向右平移a(a＜6)个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则a的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,CE//FD,CD=AB=4,
∵将线段AB水平向右平移得到线段EF,
∴AB//EF//CD,
∴四边形ECDF为平行四边形.根据菱形的定义可知,当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=BE=BC−CE=6−4=2.故选B.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,CE//FD,CD=AB=4,
∵将线段AB水平向右平移得到线段EF,
∴AB//EF//CD,
∴四边形ECDF为平行四边形.根据菱形的定义可知,当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=BE=BC−CE=6−4=2.故选B.
2.「2024甘肃临夏州中考」如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为$( )$
C
A.(-4,2)B.(-\sqrt{3},4)C.(-2,4)D.(-4,\sqrt{3})
答案：
C
如图,过C作CN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M,
∵点C的坐标为(3,4),
∴ON=3,CN=4,
∴OC=$\sqrt{ON^2+CN^2}$=5.
∵四边形ABOC是菱形，
∴AC=OC=5,AC//BO,
∴点A的坐标为(−2,4).故选C.
如图,过C作CN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M,
∵点C的坐标为(3,4),
∴ON=3,CN=4,
∴OC=$\sqrt{ON^2+CN^2}$=5.
∵四边形ABOC是菱形，
∴AC=OC=5,AC//BO,
∴点A的坐标为(−2,4).故选C.
3.「2025四川成都铁路中学月考」如图,菱形ABCD的周长为20,E是AC的中点,F是AB的中点,连接EF,则EF=
$\frac{5}{2}$
.
答案：
$\frac{5}{2}$ 解析
∵菱形ABCD的周长为20，
∴BC=20÷4=5,
∵E是AC的中点,F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$,故答案为$\frac{5}{2}$.
∵菱形ABCD的周长为20，
∴BC=20÷4=5,
∵E是AC的中点,F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$,故答案为$\frac{5}{2}$.
4.「2024四川广安中考」如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE= BF,求证：∠DEF= ∠DFE.
答案：
证明
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,
∵BE=BF,
∴AB−BE=BC−BF,
∴AE=CF,在△DAE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}DA=DC,\\ ∠A=∠C,\\ AE=CF,\end{array}\right.$
∴△DAE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,
∵BE=BF,
∴AB−BE=BC−BF,
∴AE=CF,在△DAE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}DA=DC,\\ ∠A=∠C,\\ AE=CF,\end{array}\right.$
∴△DAE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE.
5.「2025山东青岛市北期中」中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图,小陶家有一个中国结装饰,可以近似看作菱形ABCD,测得BD= 16cm,AC= 12cm,则此菱形的周长为(
A.28cm
B.40cm
C.56cm
D.80cm
B
)A.28cm
B.40cm
C.56cm
D.80cm
答案：
∵四边形ABCD为菱形，且BD=16cm,AC=12cm,
∴AB=BC=CD=AD,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=8cm,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=6cm,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理得AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm),
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40(cm),故选B.
∵四边形ABCD为菱形，且BD=16cm,AC=12cm,
∴AB=BC=CD=AD,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=8cm,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=6cm,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理得AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm),
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40(cm),故选B.
6.「2025山西大学附中月考」如图,已知在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,其中点B的坐标是(6,2),点D的坐标是(0,2),点A在x轴上,则点C的坐标是(
A.(3,2)
B.(3,3)
C.(3,4)
D.(2,4)
C
)A.(3,2)
B.(3,3)
C.(3,4)
D.(2,4)
答案：
连接AC,BD,相交于点E,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE=CE,BE=DE,AC⊥BD,
∵点A在x轴上,点B的坐标为(6,2),点D的坐标为(0,2),
∴BD=6,AE=2,
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3,AC=2AE=4,
∴点C的坐标为(3,4).故选C.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE=CE,BE=DE,AC⊥BD,
∵点A在x轴上,点B的坐标为(6,2),点D的坐标为(0,2),
∴BD=6,AE=2,
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3,AC=2AE=4,
∴点C的坐标为(3,4).故选C.
7.「2025山西大学附中月考」如图,四边形ABCD是菱形,∠ACD= 30°,BD= 6,求：
(1)∠BAD和∠ABC的度数.
(2)AB和AC的长.
(1)∠BAD和∠ABC的度数.
(2)AB和AC的长.
答案：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC,AC⊥BD,∠BCD=2∠ACD,∠ABC=2∠CBD,
∵∠ACD=30°,
∴∠BCD=60°,
∴∠BAD=∠BCD=60°,△BCD为等边三角形，
∴∠CBD=60°,
∴∠ABC=2∠CBD=120°.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，△BCD为等边三角形，BD=6,AC⊥BD,
∴AO=OC,BC=BD=6,
∴AB=BC=CD=6.在Rt△COD中,∠ACD=30°,
∴OD=$\frac{1}{2}$DC=3,
∴OC=$\sqrt{CD^2−OD^2}$=$\sqrt{6^2−3^2}$=3$\sqrt{3}$,
∴AC=2CO=6$\sqrt{3}$.
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC,AC⊥BD,∠BCD=2∠ACD,∠ABC=2∠CBD,
∵∠ACD=30°,
∴∠BCD=60°,
∴∠BAD=∠BCD=60°,△BCD为等边三角形，
∴∠CBD=60°,
∴∠ABC=2∠CBD=120°.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，△BCD为等边三角形，BD=6,AC⊥BD,
∴AO=OC,BC=BD=6,
∴AB=BC=CD=6.在Rt△COD中,∠ACD=30°,
∴OD=$\frac{1}{2}$DC=3,
∴OC=$\sqrt{CD^2−OD^2}$=$\sqrt{6^2−3^2}$=3$\sqrt{3}$,
∴AC=2CO=6$\sqrt{3}$.
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