《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

14. (2025·雷州市三模)在$\triangle ABC$中,$AB = CB$,$D$是$BC$边上的动点,经过点$A$,$D$的$\odot O$与$AB$,$AC$边分别交于点$E$,$F$,连接$AD$,$DF$,且$\angle CAD = \angle CDF$.
(1) 如图1,求证$BC$是$\odot O$的切线;
(2) 如图2,$AD$是$\odot O$的直径,若$AB = \sqrt{10}$,$AC = 2$,求$\odot O$的半径.

答案：
14.
(1)证明：连接OD，OF，连接DF，如图，

则OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=90°-$\frac{1}{2}$∠DOF，
∵$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{DF}$，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DOF，
∴∠ODF+∠DAF=90°
∵∠CAD=∠CDF，
∴∠ODF+∠CDF=90°，即∠ODC=90°，
∵D是BC边上的动点，
∴OD是圆的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：AD是⊙O的直径，连接DF、DE、EF，如图，

∴∠AED=∠AFD=90°，
∵经过点A的⊙O与BC边相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∵AB=BC=$\sqrt{10}$，AC=2，BD=$\sqrt{10}$-CD，
∴($\sqrt{10}$)²-($\sqrt{10}$-CD)²=2²-CD²，
解得CD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由勾股定理得：AD²=AC²-CD²=$\frac{18}{5}$，
∴AD=$\sqrt{\frac{18}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。

15. 如图,已知正方形$ABCD$的边长为4,点$P$是$AB$边上的一个动点,连接$CP$,过点$P$作$PC$的垂线交$AD$于点$E$,以$PE$为边作正方形$PEFG$,顶点$G$在线段$PC$上,对角线$EG$,$PF$相交于点$O$.
(1) 若$AP = 1$,则$AE$$\frac{3}{4}$$=$;
(2) ①求证:点$O$一定在$\triangle APE$的外接圆上;②当点$P$从点$A$运动到点$B$时,点$O$也随之运动,求点$O$经过的路径长;
(3) 在点$P$从点$A$到点$B$的运动过程中,$\triangle APE$的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到$AB$边的距离的最大值.

答案： 15.
(1)$\frac{3}{4}$
(2)①取EP中点H ②2$\sqrt{2}$
(3)$\frac{1}{2}$