《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

9. 如图，四边形 $ABCD$ 是圆的内接四边形，且 $DB = DC$，$\angle DAE$ 是四边形 $ABCD$ 的一个外角，求证：$AD$ 平分 $\angle EAC$。

答案： 9.证∠DAE=∠DCB=∠DBC=∠DAC

10. 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，分别延长 $BC$，$AD$，使它们相交于点 $E$，$AB = 8$，且 $DC = DE$。
(1) 求证：$\angle A = \angle AEB$。
(2) 若 $\angle EDC = 90°$，点 $C$ 为 $BE$ 的中点，求 $\odot O$ 的半径。

答案： 10.
(1)证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠E=∠DCE，
∴∠A=∠AEB；
(2)解：连接AC，
∵∠EDC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠A=∠AEB，
∴AB=BE
∵AB=8，
∴BE=8，
∵点C为BE的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4，
在Rt△ABC中，AC=4√5，
∴⊙O的半径为2√5。

11. 如图，$\odot O$ 的半径为 $1$ cm，弦 $AB$，$CD$ 的长度分别为 $\sqrt{2}$ cm，$1$ cm，则弦 $AC$，$BD$ 所夹的锐角 $\alpha =$75°。

答案： 11.75°

12. (2024·浙江)如图，在圆内接四边形 $ABCD$ 中，$AD ＜ AC$，$\angle ADC ＜ \angle BAD$，延长 $AD$ 至点 $E$，使 $AE = AC$，延长 $BA$ 至点 $F$，连结 $EF$，使 $\angle AFE = \angle ADC$。
(1) 若 $\angle AFE = 60°$，$CD$ 为直径，求 $\angle ABD$ 的度数。
(2) 求证：① $EF // BC$；② $EF = BD$。

答案：
12.
(1)解：
∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠AFE=∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=30°；
(2)证明：①
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠AFE=∠ADC，
∴∠AFE+∠ABC=180°，
∴EF//BC；
②过点D作DG//BC交⊙O于点G，连接AG，CG，DG，

∵DG//BC，
∴∠CDG=∠DCB=∠EAF，
∴弧BD=弧CG，
∴BD=CG，
∵∠AFE=∠ADC，∠AGC=∠ADC，
∴∠AFE=∠AGC，
∵AE=AC，
∴△AEF≌△ACG(AAS)，
∴EF=CG，
∴EF=BD。