《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

11. (2024·南充)已知$x_{1}$，$x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1) 求$k$的取值范围.
(2) 若$k＜5$，且$k$，$x_{1}$，$x_{2}$都是整数，求$k$的值.

答案： 11.
(1) $\because$原方程有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta＞0$，
$\therefore 4k^2 - 4k^2 + 4k - 4 = 4k - 4 ＞ 0$，
解得 $k ＞ 1$.
(2) $\because 1 ＜ k ＜ 5$，
$\therefore$整数 $k$ 的值为 $2, 3, 4$，
当 $k = 2$ 时，方程为 $x^2 - 4x + 3 = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$，
当 $k = 3$ 或 $4$ 时，此时方程解不为整数.
综上所述，$k$ 的值为 $2$.

12. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x + 4m + 1 = 0$有实数根.
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 若该方程的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，且$\vert x_{1}-x_{2}\vert=4$，求$m$的值.

答案： 12. 解：
(1) $\because$关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 6x + 4m + 1 = 0$ 有实数根，
$\therefore \Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × (4m + 1) \geq 0$，
解得 $m \leq 2$；
(2) $\because$方程 $x^2 - 6x + 4m + 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_1, x_2$，
$\therefore x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 4m + 1$，
$\therefore (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2$，即 $32 - 16m = 16$，
解得 $m = 1$.

13. (2023·梁山县模拟)如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如$x^{2}+x = 0$是“差1方程”.
(1) 判断下列方程$x^{2}-5x - 6 = 0$是否为“差1方程”？
(2) 已知关于$x$的方程$x^{2}-(m - 1)x - m = 0$（$m$是常数）是“差1方程”，求$m$的值；
(3) 若关于$x$的方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$（$a$，$b$是常数，$a＞0$）是“差1方程”，设$t = 10a - b^{2}$，求$t$的最大值.

答案： 13. 解：
(1) 不是“差 1 方程”；
(2) $x^2 - (m - 1)x - m = 0$，$\therefore x = m$ 或 $x = -1$，
$\because$方程 $x^2 - (m - 1)x - m = 0$（$m$ 是常数）是“差 1 方程”，
$\therefore m = -1 + 1$ 或 $m = -1 - 1$，
$\therefore m = 0$ 或 $-2$；
(3) 由题可得：$\Delta = b^2 - 4a × 1 = b^2 - 4a \geq 0$
$\therefore$解方程得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4a}}{2a}$，
$\because$是“差 1 方程”，
$\therefore \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4a}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4a}}{2a} = 1$，
$\therefore b^2 = a^2 + 4a$，$\because t = 10a - b^2$，
$\therefore t = 6a - a^2 = -(a - 3)^2 + 9$，
$\because a ＞ 0$，$\therefore a = 3$ 时，$t$ 的最大值为 $9$.