《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

5. 如图，已知等边三角形 $ ABC $ 的边长为 $ 6 cm $，点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，沿 $ A \to C \to B $ 的方向以 $ 2 cm/s $ 的速度向终点 $ B $ 运动，同时点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，沿 $ B \to A $ 的方向以 $ 1 cm/s $ 的速度向终点 $ A $ 运动。当点 $ P $ 运动到点 $ B $ 时，两点均停止运动。运动时间记为 $ t s $，请解决下列问题：
(1) 若点 $ P $ 在边 $ AC $ 上，当 $ t $ 为何值时，$ \triangle APQ $ 为直角三角形？
(2) 是否存在这样的 $ t $ 值，使 $ \triangle APQ $ 的面积为 $ 2\sqrt{3} cm^2 $？若存在，请求出 $ t $ 的值，若不存在，请说明理由。

答案： 5.解：
(1)当点P在边AC上时，
由题意知，AP = 2t，AQ = 6 - t，
当∠APQ = 90°时，t = 1.2，
当∠AQP = 90°时，t = 3，
∴t为1.2s或3s；
(2)存在，
①当点P在边AC上时，此时0≤t≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A = 60°，AP = 2t，
$PD = \sqrt{3}t，$$S_{△APQ} = \frac{1}{2}AQ·PD = \frac{1}{2}(6 - t)·\sqrt{3}t，$
∴$\frac{1}{2}(6 - t)·\sqrt{3}t = 2\sqrt{3}，$
∴$t_{1} = 3 + \sqrt{5}（$不合题意，舍去），$t_{2} = 3 - \sqrt{5}；$
②当点P在边BC上时，此时3≤t≤6，
过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B = 60°，BP = 12 - 2t，
∴$PF = \sqrt{3}(6 - t)，$$S_{△APQ} = \frac{1}{2}AQ·PF = \frac{1}{2}(6 - t)·\sqrt{3}(6 - t)，$
∴$\frac{1}{2}(6 - t)·\sqrt{3}(6 - t) = 2\sqrt{3}，$
∴$t_{1} = 4，$$t_{2} = 8（$不合题意，舍去），
综上，t的值是$(3 - \sqrt{5})$或4.

6. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 10 cm $，$ BC = 20 cm $。$ P $，$ Q $ 两点同时从 $ A $ 点出发，分别以 $ 1 cm/秒 $ 和 $ 2 cm/秒 $ 的速度沿 $ A - B - C - D - A $ 运动，当 $ Q $ 点回到 $ A $ 点时，$ P $，$ Q $ 两点即停止运动，设点 $ P $，$ Q $ 运动时间为 $ t $ 秒。
(1) 当 $ P $，$ Q $ 分别在 $ AB $ 边和 $ BC $ 边上运动时，设以 $ P $，$ B $，$ Q $ 为顶点的三角形面积为 $ S $，请写出 $ S $ 关于 $ t $ 的函数表达式及自变量 $ t $ 的取值范围；
(2) 在整个运动过程中，$ t $ 取何值时，$ PQ $ 与 $ BD $ 垂直？

答案： $6.(1)S = -t^{2} + 15t - 50(5 ＜ t ＜ 10)$
(2)t = 6或t = 25