《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

12. 用配方法求：当 $x$ 为何值时，代数式 $-3x^{2}+6x - 5$ 取得最大值？

答案： 12. 解：$-3x^2 + 6x - 5 = -3(x^2 - 2x + \frac{5}{3}) = $
$-3(x^2 - 2x + 1 - 1 + \frac{5}{3}) = -3[(x - 1)^2 + \frac{2}{3}] = $
$-3(x - 1)^2 - 2，$
∵$ (x - 1)^2 \geq 0，$
∴$ -3(x - 1)^2 \leq 0，$
∴$ -3(x - 1)^2 - 2 \leq -2，$
∴ 当 x = 1 时，代数式$ -3x^2 + 6x - 5 $取得最大值。

13. 已知 $a$，$b$，$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边的长.
(1) 当 $a^{2}+2ab = c^{2}+2bc$ 时，试判断 $\triangle ABC$ 的形状；
(2) 证明：$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac ＜ 0$.

答案： 13.
(1) 等腰三角形
(2) 证明：$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac = (a - c)^2 - b^2 = (a - c + b)(a - c - b)，$由三角形的三边关系得 a - c + b ＞ 0, a - c - b ＜ 0，
所以$ a^2 - b^2 + c^2 - 2ac ＜ 0。$

14. 选取二次三项式 $ax^{2}+bx + c(a\neq0)$ 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. 例如：①选取二次项和一次项配方：$x^{2}-4x + 2=(x - 2)^{2}-2$；
②选取二次项和常数项配方：$x^{2}-4x + 2=(x-\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2}-4)x$ 或 $x^{2}-4x + 2=(x+\sqrt{2})^{2}-(4 + 2\sqrt{2})x$；
③选取一次项和常数项配方：$x^{2}-4x + 2=(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^{2}-x^{2}$.
根据上述材料，解决下面问题
(1) 写出 $x^{2}-8x + 4$ 的两种不同形式的配方.
(2) 已知 $x^{2}+y^{2}+xy - 3y + 3 = 0$，求 $xy$ 的值.
(3) 当 $x$、$y$ 为何值时，代数式 $5x^{2}-4xy + y^{2}+6x + 25$ 取得最小值？最小值为多少？

答案： $14. (1) (x - 4)^2 - 12 $或$ (x - 2)^2 - 4x；$
(2)
∵$ x^2 + y^2 + xy - 3y + 3 = 0，$
∴$ (x + \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y - 2)^2 = 0，$
∴$ x + \frac{1}{2}y = 0, y - 2 = 0，$
∴ x = -1, y = 2，则 xy = 1；
$(3) 5x^2 - 4xy + y^2 + 6x + 25 $
$= 4x^2 - 4xy + y^2 + x^2 + 6x + 25 $
$= (2x - y)^2 + (x + 3)^2 + 16，$
当 2x - y = 0, x + 3 = 0 时，
即 x = -3, y = -6 时，最小值为 16。