《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

14. 如图所示，在$\odot O$内有折线$OABC$，其中$OA=8$，$AB=12$，$\angle A=\angle B=60^{\circ}$，则$BC$的长为(D)

A.19
B.16
C.18
D.20

答案： 14.D

15. 点$A$，$C$为半径是 3 的圆周上两点，点$B$为$\overset{\frown}{AC}$的中点，以线段$BA$，$BC$为邻边作菱形$ABCD$，顶点$D$恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为$\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$.

答案： 15.$\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$

16. (2023 秋·绍兴期中)如图，隧道的截面由圆弧$AED$和矩形$ABCD$构成，矩形的长$BC$为 12 m，宽$AB$为 3 m，隧道的顶端$E$(圆弧$AED$的中点)高出道路($BC$)7 m.
(1) 求圆弧$AED$所在圆的半径；
(2) 如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高 6 m，宽 3.3 m，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由.
]

答案：
16.
(1) 如图,设圆弧AED所在圆的圆心为点O,半径为r,连接OE交AD于点F,连接OA,
由垂径定理得:OF垂直平分AD,
∵四边形ABCD是矩形,BC = 12 m,AB = 3 m,点E到BC的距离为7 m,
∴AD = BC = 12 m,EF = 7 - AB = 4 m,
∴AF = $\frac{1}{2}$AD = 6 m,OF = OE - EF = (r - 4)m,
在Rt△OAF中,由勾股定理得AF² + OF² = OA²,
∴6² + (r - 4)² = r²,
解得r = 6.5,
∴圆弧AED所在圆的半径为6.5 m;

(2) 这辆货运卡车不能通过该隧道,理由如下:
在OE上取点G,且使OG = 5.5 m,过G作HG ⊥ OE交ED于H点,连接OH,
依题意,圆弧所在圆的半径为6.5 m,E到BC的距离为7m,则点O到BC的距离为0.5 m,
∴G点到BC的距离为OG + 0.5 = 6 m,
在Rt△OHG中,
GH = $\sqrt{OH² - OG²}$ = $\sqrt{6.5² - 5.5²}$ = $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$,
∵2$\sqrt{3}$＜3不成立（此处原答案比较错误，应为2$\sqrt{3}$＞3，但根据前面逻辑判断应该是比较错误，实际应为$\sqrt{6.5² - 5.5²}=\sqrt{12}\approx3.46＞3$，若按原答案逻辑应该是取OG = 2.5m时，$\sqrt{6.5² - 2.5²}=\sqrt{36}=6＞3$，这里按正确逻辑修正），但按题意应该是判断车高是否能通过，车高一般小于3m，这里应该是比较错误，实际应为$\sqrt{6.5² - 5.5²}=\sqrt{12}\approx3.46＞3$，所以这里应该是比较错误，若按正确逻辑，当车宽对应OG = 2.5m时，$\sqrt{6.5² - 2.5²}=\sqrt{36}=6＞3$，但这里按原答案逻辑修正为：在OE上取点G,且使OG = 2.5 m,过G作HG ⊥ OE交ED于H点,连接OH，此时GH = $\sqrt{OH² - OG²}$ = $\sqrt{6.5² - 2.5²}$ = $\sqrt{36}$ = 6，因为6＞3，所以这辆货运卡车能通过该隧道（这里是按修正逻辑得出的结论，原答案比较错误）。

17. (2024·包头)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$BC$，$BD$是$\odot O$的两条弦，点$C$与点$D$在$AB$的两侧，$E$是$OB$上一点($OE＞BE$)，连接$OC$，$CE$，且$\angle BOC=2\angle BCE$.
(1) 如图 1，若$BE=1$，$CE=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径；
(2) 如图 2，若$BD=2OE$，求证：$BD// OC$.
]

答案： 17.
(1)
∵OB = OC,
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BOC)
= 90° - $\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠BCE + ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠BOC + 90° - $\frac{1}{2}$∠BOC = 90°,
∴∠OEC = 90°,
设OC = x,在Rt△OCE中,
x² = 5 + (x - 1)²,
∴x = 3
∴⊙O的半径为3;
(2) 过点O作OK ⊥ BD于点K,则BK = DK,
∵BD = 2OE,
∴OE = BK,
∵∠CEO = ∠OKB = 90°,OC = OB,
∴Rt△OEC ≌ Rt△BKO(HL),
∴∠COE = ∠OBK,
∴OC // BD.