《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

10. 已知：如图，$AB$为$\odot O$的直径，$AB = AC$，$BC$交$\odot O$于点$D$，$AC$交$\odot O$于点$E$，$\angle BAC = 45^{\circ}$.
(1) 求$\angle EBC$的度数；
(2) 求证：$BD = CD$.

答案： 10.
(1) 22.5°
(2) 证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC，
∴BD=CD.

11. (2024·长丰县一模)如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$BC = CD$，过点$C$作$CE$，使得$CD = CE$，交$AD$的延长线于点$E$.
(1) 求证：$AB = AE$.
(2) 若$AD = DE = 2$，求$CD$的长.

答案：
11.
(1) 证明：连接AC.
∵BC=CD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAC=∠EAC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，BC=CE，
∵∠B + ∠ADC = 180°，∠CDE + ∠ADC = 180°，
∴∠B=∠CDE，
∴∠B=∠E，
∴△ABC≌△AEC(AAS)，
∴AB=AE；
(2) 解：如图，连接BD.
∵∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
由
(1)可得AB=AE.
∵AD=DE=2，
∴AE=AB=4.
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BCD中，CD=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{10}$.

12. (2025·淮南模拟)如图，$AB$为$\odot O$的直径，点$C$是$\odot O$上一点，$CD\perp AB$于点$D$，连接$AC$，$BC$.作$\angle ACD$的平分线，交$AB$于点$E$，交$\odot O$于点$F$.
(1) 求证：$BC = BE$.
(2) 若$DE = 4$，$CD = 6$，求$\odot O$的半径.

答案： 12.
(1) 证明：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCE+∠CEB=90°，
∵∠ACE=∠DCE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BC=BE；
(2) 解：设BD=x，则BC=BE=DE+DB=x+4，
由条件可知BD²+CD²=BC²，
∴x²+6²=(x+4)²，
∴x=2.5，
∴BD=2.5，
设半径为r，在Rt△OCD中，
r²=6²+(r - 2.5)²，
∴半径r为$\frac{169}{20}$.

13. 如图，半径为$2\sqrt{5}$的$\odot O$内有互相垂直的两条弦$AB$，$CD$相交于$P$点.
(1) 设$BC$中点为$F$，连接$FP$并延长交$AD$于点$E$，求证：$EF\perp AD$；
(2) 连接$OP$，若$AB = 8$，$CD = 6$，求$OP$的长.

答案： 13. 证明：
(1)
∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF.
又
∵∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE.
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD.
(2) 解：作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，
∴OM²=(2$\sqrt{5}$)² - 4²=4，ON²=(2$\sqrt{5}$)² - 3²=11.
又易证四边形MONP是矩形，
∴OP=$\sqrt{OM^{2}+ON^{2}}$=$\sqrt{15}$.