《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

11. 如果 $ (a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 63 $,求 $ a^2 + b^2 $ 的值.

答案： 11.8

12. 已知一个等腰三角形的两边是方程 $ 4 - (x - 10)^2 = 0 $ 的两根,求等腰三角形的面积.

答案： $12.12\sqrt{7}$或$32\sqrt{2}$

13. (2024 春·海阳市期中)关于 $ x $ 的方程 $ (x - p)^2 = q $,下列说法正确的是 (D)

A.方程有两个根 $ x = \pm \sqrt{q} $
B.当 $ p ＞ 0 $,方程有两个根 $ x = \pm \sqrt{p + q} $
C.当 $ q = 0 $ 时,方程无实数根
D.当 $ q ＞ 0 $ 时,方程有两个根 $ x = \pm \sqrt{q} + p $

答案： 13.D

14. (2025 春·瑶海区校级期中)一元二次方程 $ a(x + h)^2 + k = 0 $ 的两根分别为 $ -5,1 $,则方程 $ a(2x + h - 3)^2 + k = 0(a \neq 0) $ 的两根分别为x_1 = -1,x_2 = 2.

答案： $14.x_1 = -1,x_2 = 2$

15. 在实数范围内定义一种新运算“$ \triangle $”,其规则为 $ a \triangle b = a^2 - b^2 $.
(1) 求 $ 4 \triangle 3 $ 的值;
(2) 求 $ (x + 2) \triangle 5 = 0 $ 中 $ x $ 的值;
(3) 已知直角三角形的两边长是方程 $ 3 \triangle (x - 8) = 0 $ 的两根,求该直角三角形的第三边长.

答案： 15.
(1)7
(2)3或$ -7 (3)\because3\triangle(x - 8) = 0,$
$\therefore(x - 8)^2 = 9,\therefore x = 11$或x = 5,
当两边为直角边时,第三边长为$\sqrt{146};$
当一边为斜边一边为直角边时,第三边长为$4\sqrt{6}。$