《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

14. 关于$x$的一元二次方程$mx^2 - (3m - 1)x + 2m - 1 = 0$,其根的判别式的值为$1$,求$m$的值及该方程的根.

答案： $14. m = 2,x_1 = \frac{3}{2},x_2 = 1$

15. (2025春·房山区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + m - 1 = 0$.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根为负数,求$m$的取值范围.

答案： 15.
(1) 由于$\Delta = m^2 - 4(m - 1)$
$= (m - 2)^2 \geq 0,$
$\therefore $方程总有两个实数根;
(2) 由于(x + 1)(x + m - 1) = 0,
$\therefore x = -1$或x = -m + 1,
$\because $此方程有一个根是负数,
$\therefore -m + 1 \geq 0,$
$\therefore m$的取值范围是$m \leq 1.$

16. (2023·连云港)若$W = 5x^2 - 4xy + y^2 - 2y + 8x + 3$ ($x、y$为实数),则$W$的最小值为-2.

答案： 16. -2

17. 请阅读下列材料:
问题:已知方程$x^2 + x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的$2$倍.
解:设所求方程的根为$y$,则$y = 2x$,所以$x = \frac{y}{2}$.
把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$.
化简,得$y^2 + 2y - 4 = 0$.
故所求方程为$y^2 + 2y - 4 = 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式).
(1) 已知方程$x^2 + x - 2 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为y^2 - y - 2 = 0;
(2) 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案： 17. 解：$(1) y^2 - y - 2 = 0$
(2) 设所求方程的根为y,则$y = \frac{1}{x}(x \neq 0),$于是
$x = \frac{1}{y}(y \neq 0)$
把$x = \frac{1}{y}$代入方程$ax^2 + bx + c = 0,$得$a(\frac{1}{y})^2 + b \cdot \frac{1}{y} + c = 0.$
去分母,得$a + by + cy^2 = 0.$
若c = 0,有$ax^2 + bx = 0,$于是方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个根为0,不符合题意,
$\therefore c \neq 0,$故所求方程为$cy^2 + by + a = 0(c \neq 0).$