《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

9. 如图，∠ACB=60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是$\sqrt{3}$cm.

答案： 9.$\sqrt{3}$

10. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，点E在直径AB上，且DE=DC，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF，BF，试判断AF与BF的数量关系，并说明理由.
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答案： 10.解：AF=BF.理由如下：
连接OC,OF,
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE+∠OCF=90°.
∵DE=DC,
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DEC+∠OCF=90°.
∵OC=OF,
∴∠OCF=∠OFC.
又
∵∠DEC=∠OEF，
∴∠OEF+∠OFC=90°，
∴∠BOF=180°-(∠OEF+∠OFC)=90°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-90°=90°，
∴∠BOF=∠AOF,
∴AF=BF.

11. (2025·天津)已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，∠AOB=80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点.
(1) 如图①，求∠CED的大小；
(2) 如图②，当EC//OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长.
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答案： 11.
(1)连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB,∠AOB=80°，
∴∠COB=∠COA=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°，
∴∠CED=$\frac{1}{2}$∠COB=20°，
∴∠CED的度数为20°.
(2)连接OC，
∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3，
∴∠DEG=90°,DG=6，
∵EC//OA,
∴∠EFG=∠AOB=80°，
由
(1)得∠CED=20°，
∴∠EDG=∠EFG-∠CED=60°，
∴∠G=90°-∠EDG=30°，
∴ED=$\frac{1}{2}$DG=3，
∴EG=3$\sqrt{3}$，
∴ED的长是3,EG的长是3$\sqrt{3}$.

12. (2025·志丹县二模)如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是线段OB上异于O，B的一点.连接CD并延长交⊙O于点E，点P在AB的延长线上，且PE是⊙O的切线.
(1) 求证：PD=PE；
(2) 若OD=1，PB=$\frac{3}{5}$PE，求BD的长.
]

答案： 12.
(1)证明：连接OC,OE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=BC,OA=OB,OC=OE，
∴∠COB=90°,∠OED=∠OCD，
∴∠OCD+∠ODC=90°.
∵∠OEP=90°，即∠OED+∠PED=90°.
∴∠ODC=∠PED.
∵∠ODC=∠PDE,
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE；
(2)解：
∵PB=$\frac{3}{5}$PE，
∴设PE=5a，则PB=3a，
由
(1)知，PD=PE=5a，
∴BD=2a，
∵OD=1,
∴OE=OB=1+2a，
∵$PE^{2}+OE^{2}=PO^{2}$，
∴$(5a)^{2}+(1+2a)^{2}=(5a+1)^{2}$，
∴a=$\frac{3}{2}$或a=0(舍去)，
∴BD=2a=3.