《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

11. 用配方法求：
(1) $x^{2}-6x + 1$的最小值；
(2) $-3x^{2}+6x - 1$的最大值.

答案： 11.
(1) -8
(2) 2

12. 当$x$取何值时，代数式$x^{2}-x - 6$与代数式$3x - 2$的值相等？

答案： 12. 解：根据题意得$:x^{2}-x-6=3x-2，$
即$x^{2}-4x=4，$
配方得$:x^{2}-4x + 4=8,$即$(x - 2)^{2}=8，$
开方得$:x - 2=\pm2\sqrt{2}，$
解得$:x=2\pm2\sqrt{2}.$

13. 试说明：对于任意实数$m$，关于$x$的方程$(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-3x + 1 = 0$都是一元二次方程.

答案： $13. -2m^{2}+8m-12=-2(m - 2)^{2}-4＜0，$
$\therefore -2m^{2}+8m-12\neq0，$
$\therefore$对于任意实数m，关于x的方程
$(-2m^{2}+8m-12)x^{2}-3x + 1=0$
都是一元二次方程.

14. 阅读并解答问题：
解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+6 = 0$时，可以把$x^{2}-1$看作一个整体，
设$x^{2}-1 = y$，则$(x^{2}-1)^{2}=y^{2}$，
原方程化为$y^{2}-5y + 6 = 0$，解方程，得$y_{1}=2$，$y_{2}=3$.
当$y_{1}=2$时，$x^{2}-1 = 2$，$x^{2}=3$，即$x = \pm\sqrt{3}$；
当$y_{2}=3$时，$x^{2}-1 = 3$，$x^{2}=4$，即$x = \pm2$.
综上所述，原方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$，$x_{3}=2$，$x_{4}=-2$.
解答问题：
(1) 在由原方程得到方程$y^{2}-5y + 6 = 0$的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
(2) 解方程：$x^{4}-3x^{2}-10 = 0$.

答案： 14. 解：
(1) 换元 转化
(2) 设$x^{2}=y，$则$y^{2}-3y-10=0,y_{1}=x^{2}=5，$
$y_{2}=x^{2}=-2($舍去$),x_{1}=\sqrt{5},x_{2}=-\sqrt{5}.$