《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

15. 已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A,B重合),连接PA,PB,PC,PD.
(1) 如图1,当PA的长度等于2时,∠PAB=60°;当PA的长度等于$2\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时,△PAD是等腰三角形;
(2) 如图2,以AB边所在的直线为x轴,AD边所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD,△PAB,△PBC的面积分别记为S₁,S₂,S₃.设P点坐标为(a,b),试求2S₁S₃ - S₂²的最大值,并求出此时a,b的值.

答案： 15.解：
(1)$2$ $2\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$
(2)过点$P$分别作$PE\perp AB,PF\perp AD$,垂足分别为$E,F$延长$FP$交$BC$于点$G$,
则$PG\perp BC,\because AB$为直径,$\therefore\angle APB = 90^{\circ}$,
$\therefore PE^{2} = AE\cdot BE$,即$b^{2} = a(4 - a)$,
$\therefore 2S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}=4a(8 - 2a)-4a^{2}=-4a^{2}+16a$
$=-4(a - 2)^{2}+16$,
$\therefore$当$a = 2$时,$b = 2,2S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}$有最大值$16$.